高考数学复习 专题一 第二讲 数形结合思想课件.ppt

专题一 第二讲 思想方法概述 应用角度例析 通法归纳领悟 专题专项训练 角度一 角度二 角度三 1 数形结合的含义 1 数形结合 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数辅形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 它是数学的规律性与灵活性的有机结合 2 数形结合包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两种情形 一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系 即以形作为手段 数作为目的 比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质 二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 2 数形结合的途径 1 通过坐标系 形题数解 借助于直角坐标系 复平面 可以将几何问题代数化 这一方法在解析几何中体现的相当充分 在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的 值得强调的是 形题数解 时 通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧 这是因为三角公式的使用 可以大大缩短代数推理 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与图像的对应关系 曲线与方程的对应关系 以几何元素和几何条件为背景 建立起来的概念 如复数 三角函数等 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 如等式 x 2 2 y 1 2 4 表示坐标平面内以 2 1 为圆心 以2为半径的圆 2 通过转化构造 数题形解 许多代数结构都有着相应的几何意义 据此 可以将数与形进行巧妙地转化 例如 将a a 0 与距离互化 将a2与面积互化 将a2 b2 ab a2 b2 2 a b cos 60 或 120 与余弦定理沟通 将a b c 0且b c a中的a b c与三角形的三边沟通 将有序实数对 或复数 和点沟通 将二元一次方程与直线 将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等 这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形 平面的或立体的 另外 函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一 正是基于此 函数思想和数形结合思想经常相互渗透 演绎出解题捷径 利用数形结合讨论方程的解或图像交点 图1 图2 答案 1 B 2 0 1 1 4 1 讨论方程的解 或函数的零点 可构造两个函数 使问题转化为讨论两曲线的交点问题 但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性 全面性 否则会得到错解 2 正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键 数形结合应以快和准为原则而采用 不要刻意去数形结合 解析 选依题意得 函数f x 是以2为周期的函数 在同一坐标系下画出函数y f x 与函数y g x 的图像 结合图像得 当x 5 5 时 它们的图像的公共点共有8个 即函数h x f x g x 在区间 5 5 内的零点的个数是8 C 利用数形结合解不等式或求参数问题 解析 1 在同一坐标系中 分别作出y log2 x y x 1的图像 由图可知 x的取值范围是 1 0 解含参数的不等式时 由于涉及到参数 往往需要讨论 导致运算过程繁琐冗长 如果题设与几何图形有联系 那么利用数形结合的方法 问题将会顺利地得到解决 2 当x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax恒成立 则a的取值范围为 A 2 3 B 4 C 1 2 D 2 4 解析 选设y1 x 1 2 y2 logax 则y1的图像为如右图所示的抛物线 要使对一切x 1 2 y11 并且只需当x 2时 logax 1 所以a 2 所以1 a 2 C 答案 6 3 2012 安徽高考 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 利用数形结合求最值 思路点拨 1 根据a b 0 可化简 a c b c a b c 1 可根据向量加法的几何意义作图 利用向量a b与c的位置关系寻找问题的结论 2 分式形式的函数的最值问题常考虑构造斜率模型求解 常常是过一个定点和一个动点的直线斜率 答案 1 D 2 D 1 应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 1 集合的运算及韦恩图 2 函数及其图像 3 数列通项及求和公式的函数特征及函数图像 4 方程 多指二元方程 及方程的曲线 5 对于研究距离 角或面积的问题 直接从几何图形入手进行求解即可 6 对于研究函数 方程或不等式 最值 的问题 可通过函数的图像求解 函数的零点 顶点是关键点 做好知识的迁移与综合运用 2 运用数形结合的思想分析解决问题时 应把握以下三个原则 1 等价性原则 在数形结合时 代数性质和几何性质的转换必须是等价的 否则解题将会出现漏洞 有时 由于图形的局限性 不能完整的表现数的一般性 这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明 但它同时也是抽象而严格证明的诱导 2 双向性原则 在数形结合时 既要进行几何直观的分析 又要进行代数抽象的探索 两方面相辅相成 仅对代数问题进行几何分析 或仅对几何问题进行代数分析 在许多时候是很难行得通的 例如 在解析几何中 我们主要是运用代数的方法来研究几何问题 但是在许多时候 若能充分地挖掘利用图形的几何特征 将会使得复杂的问题简单化 3 简单性原则 就是找到解题思路之后 至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程 则取决于哪种方法更为简单 而不是去刻意追求代数问题运用几何方法 几何问题运用代数方法