高考数学专题复习导练测 第十二章 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题课件 理 新人教A版.ppt

高考专题突破六高考中的概率与统计问题 第十二章概率 随机变量及其分布 数学A 理 考点自测 高考题型突破 练出高分 D C C 设在通电后的4秒钟内 甲串彩灯 乙串彩灯第一次亮的时刻为x y x y相互独立 由题意可知 如图所示 解析 题型一古典概型与几何概型例1 1 2014 四川 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 求 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率 所有结果共有3 3 3 27种 满足a b c的情况有3个 a b c不完全相同的结果可用其对立事件考虑 思维点拨 解 由题意知 a b c 所有的可能结果为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共27种 设 抽取的卡片上的数字满足a b c 为事件A 则事件A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3种 思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性 几何概型经常涉及的几何度量有长度 面积 体积等 解决几何概型的关键是找准几何测度 古典概型是命题的重点 对于较复杂的基本事件空间 列举时要按照一定的规律进行 做到不重不漏 例1 2 已知关于x的二次函数f x ax2 4bx 1 设点 a b 是区域 内的一点 求函数y f x 在区间 1 上是增函数的概率 结合线性规划知识来解决 思维点拨 要使f x ax2 4bx 1在区间 1 上为增函数 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 构成所求事件的区域为三角形部分 所求概率区间应满足2b a 思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性 几何概型经常涉及的几何度量有长度 面积 体积等 解决几何概型的关键是找准几何测度 古典概型是命题的重点 对于较复杂的基本事件空间 列举时要按照一定的规律进行 做到不重不漏 跟踪训练1某地区有小学21所 中学14所 大学7所 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查 1 求应从小学 中学 大学中分别抽取的学校数目 故从小学 中学 大学中分别抽取的学校数目为3 2 1 跟踪训练1 2 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析 列出所有可能的抽取结果 求抽取的2所学校均为小学的概率 解 在抽取的6所学校中 3所小学分别记为A1 A2 A3 2所中学分别记为A4 A5 大学记为A6 则抽取2所学校的所有可能结果为 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A2 A6 A3 A4 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共15种 跟踪训练1 2 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析 列出所有可能的抽取结果 求抽取的2所学校均为小学的概率 解 从6所学校中抽取的2所学校均为小学 记为事件B 的所有可能结果为 A1 A2 A1 A3 A2 A3 共3种 题型二求离散型随机变量的均值与方差例22014年男足世界杯在巴西举行 为了争夺最后一个小组赛参赛名额 甲 乙 丙三支国家队要进行比赛 根据规则 每支队伍比赛两场 共赛三场 每场比赛胜者得3分 负者得0分 没有平局 获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额 已知乙队胜丙队的概率为 甲队获得第一名的概率为 乙队获得第一名的概率为 1 求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1 P2 1 利用相互独立事件同时发生的概率公式 结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程 从而求出P1 P2 思维点拨 解析 解根据题意 甲队获得第一名 则甲队胜乙队且甲队胜丙队 乙队获得第一名 则乙队胜甲队且乙队胜丙队 2 先根据比赛得分的规则确定甲队得分 的可能取值 然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值 列出分布列求其均值 思维点拨 例2 2 设在该次比赛中 甲队得分为 求 的分布列和均值 例2 2 设在该次比赛中 甲队得分为 求 的分布列和均值 解 可能取的值为0 3 6 例2 2 设在该次比赛中 甲队得分为 求 的分布列和均值 所以 的分布列为 思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解 一般分两步 一是定型 即先判断随机变量的分布是特殊类型 还是一般类型 如两点分布 二项分布 超几何分布等属于特殊类型 二是定性 对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解 而对于一般类型的随机变量 应先求其分布列然后代入相应公式计算 注意离散型随机变量的取值与概率间的对应 跟踪训练2受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为2年 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆 统计数据如下 将频率视为概率 解答下列问题 1 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求其首次出现故障发生在保修期内的概率 2 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 分别求X1 X2的分布列 解依题意得 X1的分布列为 X2的分布列为 跟踪训练2 3 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应生产哪种品牌的轿车 说明理由 题型三概率与统计的综合应用例3 2013 课标全国 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出1t该产品获利润500元 未售出的产品 每1t亏损300元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 利润T是由两部分构成的 一个是获得利润 另一个是亏损 是否亏损与X的取值范围有关 因此 T关于X的函数要用分段函数表示 思维点拨 例3 1 将T表示为X的函数 例3 1 将T表示为X的函数 解 1 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39000 当X 130 150 时 T 500 130 65000 解由 1 知利润T不少于57000元当且仅当120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为0 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0 7 例3 2 根据直方图估计利润T不少于57000元的概率 解依题意可得T的分布列为 例3 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求T的均值 例3 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求T的均值 所以E T 45000 0 1 53000 0 2 61000 0 3 65000 0 4 59400 例3 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求T的均值 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体 已成为近几年高考的一大亮点和热点 它与其他知识融合 渗透 情境新颖 充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 统计以考查抽样方法 样本 例3 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求T的均值 思维升华 的频率分布 样本特征数的计算为主 概率以考查概率计算为主 往往和实际问题相结合 要注意理解实际问题的意义 使之和相应的概率计算对应起来 只有这样才能有效地解决问题 跟踪训练3以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵数 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以X表示 甲组乙组 1 如果X 8 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 解当X 9时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵数是9 9 11 11 乙组同学的植树棵数是9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 共有4 4 16 种 可能的结果 这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树9棵 乙组选出的同学植树8棵 所以该事件有2种可能的结果 因此 所以随机变量Y的分布列为 2 1 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 1 2013 广东 某车间共有12名工人 随机抽取6名 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示 其中茎为十位数 叶为个位数 1 根据茎叶图计算样本均值 2 1 3 4 5 6 2 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人 2 1 3 4 5 6 3 从该车间12名工人中 任取2人 求恰有1名优秀工人的概率 2 1 3 4 5 6 2 在10件产品中 有3件一等品 4件二等品 3件三等品 从这10件产品中任取3件 求 1 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值 2 1 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 2 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 解设 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数 为事件A 恰好取出1件一等品和2件三等品 为事件A1 恰好取出2件一等品 为事件A2 恰好取出3件一等品 为事件A3 由于事件A1 A2 A3彼此互斥 且A A1 A2 A3 而P A1 P A2 P X 2 P A3 P X 3 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P A P A1 P A2 P A3 2 1 3 4 5 6 3 甲 乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏 按照规则 甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答 然后由乙回答剩余3题 每人答对其中2题就停止答题 即闯关成功 已知在6道备选题中 甲能答对其中的4道题 乙答对每道题的概率都是 1 求甲 乙至少有一人闯关成功的概率 2 1 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 2 设甲答对题目的个数为 求 的分布列 则 的分布列为 2 1 3 4 5 6 4 如图 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方图 1 求直方图中x的值 解依题意及频率分布直方图知1 0 02 0 1 x 0 37 0 39 1 解得x 0 12 2 1 3 4 5 6 2 若将频率视为概率 从这个城市随机抽取3位居民 看做有放回的抽样 求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和均值 2 1 3 4 5 6 故随机变量X的分布列为 X的均值为E X 3 0 1 0 3 2 1 3 4 5 6 5 某市公租房的房源位于A B C三个片区 设每位申请人只申请其中一个片区的房源 且申请其中任一个片区的房源是等可能的 求该市的任4位申请人中 1 恰有2人申请A片区房源的概率 2 1 3 4 5 6 方法二设对每位申请人的观察为一次试验 这是4次独立重复试验 记 申请A片区房源 为事件A 则P A 2 1 3 4 5 6 2 申请的房源所在片区的个数 的分布列与均值 综上知 的分布列为 2 1 3 4 5 6 6 一次考试共有12道选择题 每道选择题都有4个选项 其中有且只有一个是正确的 评分标准规定 每题只选一个选项 答对得5分 不答或答错得零分 某考生已确定有8道题的答案是正确的 其余题中 有两道题都可判断两个选项是错误的 有一道题可以判断一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只好乱猜 请求出该考生 2 1 3 4 5 6 1 得60分的概率 解设 可判断两个选项是错误的 两道题之一选对为事件A 有一道题可以判断一个选项是错误的 选对为事件B 有一道题不理解题意 选对为事件C 2 1 3 4 5 6 2 所得分数 的分布列和均值 2 1 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 的分布列为