高考数学一轮总复习 第十章 算法初步、复数与选考内容 第3讲 几何证明选讲课件(理).ppt

第3讲几何证明选讲 1 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得对应线段成比例 推论1 平行于三角形的一边的直线截其他两边 或两边的 延长线 所得的对应线段成比例 推论2 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 2 射影定理的结论直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积 斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于点D 则AB2 BD BC AC2 CD CB AD2 BD DC 3 相似三角形的判定与性质 4 圆周角定理与圆心角定理 1 圆周角定理及其推论 定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 推论 1 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆 或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 2 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周 角所对的弦是直径 3 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 5 弦切角的性质 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 6 圆的切线的性质及判定定理 1 定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 推论 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 7 与圆有关的比例线段 8 圆内接四边形的性质定理与判定定理及推论 1 圆内接四边形的性质定理 定理1 圆内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 圆内接四边形的判定定理及推论 判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边 形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那 么这个四边形的四个顶点共圆 1 2015年天津 如图10 3 1 在圆O中 M N是弦AB的三等分点 弦CD CE分别经过点M N 若CM 2 MD 4 CN 3 则线段NE的长为 图10 3 1 A 83 B 3 C 103 D 52 CM MD2 48 解析 由相交弦定理可知 AM MB CM MD CN NE AN NB 又因为M N是弦AB的三等分点 所以AM MB AN NB CN NE CM MD 所以NE CN33 故选A 答案 A 2 2015年广东 如图10 3 2 AB为圆O的直径 点E为AB的延长线上一点 过点E作圆O的切线 切点为C 过点A 则AD 作直线EC的垂线 垂足为D 若AB 4 CE 图10 3 2 图D70答案 3 3 2015年重庆 如图10 3 3 圆O的弦AB CD相交于点E 过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 则BE 图10 3 3 PD 12 CE ED6 3 解析 由切割线定理 得 PA2 PC PD 因此 623 CD PD PC 9 又CE ED 2 1 因此CE 6 ED 3 因 为AE EB CE ED 所以BE AE9 2 答案 2 考点1 相似三角形 例1 2015年江苏 如图10 3 4 在 ABC中 AB AC ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D 求证 ABD AEB 图10 3 4 解 因为AB AC 所以 ABD C 又因为 C E 所以 ABD E 又 BAE DAB 所以 ABD AEB 规律方法 1 判定两个三角形相似的常规思路 先找两对对应角相等 若只能找到一对对应角相等 则判断相等的角的两夹边是否对应成比例 若找不到角相等 就判断三边是否对应成比例 否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的 传递性 2 借助图形判断三角形相似的方法 有平行线的可围绕平行线找相似 有公共角或相等角的可围绕角做文章 再找其他相等的角或对应边成比例 有公共边的可将图形旋转 观察其特征 找出相等的角或成比例的对应边 互动探究 1 2012年新课标 如图10 3 5 D E分别是 ABC边AB AC的中点 直线DE交 ABC的外接圆于F G两点 若CF AB 证明 1 CD BC 3 BCD GBD 图10 3 5 解 1 如图D72 D E分别为AB AC的中点 DE BC CF AB 四边形BCFD是平行四边形 CF BD AD 连接AF 四边形ADCF是平行四边形 CD AF CF AB BC AF CD BC 图D72 2 FG BC GB CF 由 1 知 BD CF GB BD DGB EFC DBC BCD GBD 考点2 与圆有关的角 例2 2015年新课标 如图10 3 6 AB是圆O的直径 AC是圆O的切线 BC交圆O于点E 1 若D为AC的中点 证明 DE是O的切线 2 若OA CE 求 ACB的大小 图10 3 6 解 1 如图D71 连接AE 由已知 得AE BC AC AB 在Rt AEC中 由已知 得DE AD DC DEC DCE 连接OE OBE OEB ACB ABC 90 DEC OEB 90 图D71 OED 90 DE是圆O的切线 规律方法 在解有关切线的问题时 要从以下几个方面进行思考 见到切线 切点与圆心的连线垂直于切线 过切点有弦 应想到弦切角定理 若切线与一条割线相交 应想到切割线定理 若要证明某条直线是圆的切线 则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直 互动探究 2 2014年新课标 如图10 3 7 四边形ABCD是 O的内接四边形 AB的延长线与DC的延长线交于点E 且CB CE 1 证明 D E 2 设AD不是 O的直径 AD的中点为M 且MB MC 证明 ADE为等边三角形 图10 3 7 解 1 由题设知 A B C D四点共圆 所以 D CBE 由已知 得 CBE E 故 D E 2 如图D73 设BC的中点为N 连接MN 则由MB MC知 MN BC 故O在直线MN上 又AD不是 O的直径 M为AD的中点 故OM AD 即MN AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 图D73 由 1 知 D E 所以 ADE为等边三角形 考点3与圆有关的比例线段 例3 2014年新课标 如图10 3 8 P是 O外一点 PA是切线 A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 图10 3 8 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 证明 1 如图10 3 9 连接AB AC 由题设知PA PD 图10 3 9 故 PAD PDA 因为 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 因此BE EC 2 由切割线定理 得PA2 PB PC 因为PC 2PA 所以PA 2BP 所以PD 2PB 所以BD PB 所以BD DC PB 2PB 由相交弦定理 得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 规律方法 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具 应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征 另一方面在与定理相关的图形不完整时 要用辅助线补齐相应部分 在实际应用中 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到圆的两条割线就要想到割线定理 见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 互动探究 3 2015年湖南 如图10 3 10 在圆O中 相交于点E的两弦AB CD的中点分别是M N 直线MO与直线CD相交于点F 证明 1 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 图10 3 10 解 1 如图D74 M N分别是弦AB CD的中点 OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 OME ENO 180 又四边形的内角和等于360 故 MEN NOM 180 2 由 1 知 O M E N四点共圆 故由割线定理即得FE FN FM FO 图D74 易错 易混 易漏 审题不清造成漏解例题 过不在 O上的一点A作直线交 O于B C 且AB AC 64 OA 10 则 O的半径等于 正解 当点A在圆外时 由割线定理 得AB AC 64 OA r OA r 100 r2 r2 36 r 6 当点A在圆内时 根据相交弦定理 有AB AC 64 OA r r OA r2 100 r2 164 r 答案 或6 失误与防范 点A不在 O上 则点A有可能在圆外 也有可能在圆内 对于没有给出图形的问题要认真审题 并想清楚各种可能 本题很容易思维定势地认为点A在圆外而出错 1 圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应 用 尤其是利用定理进行等角代换与传递 2 要注意一些常用的添加辅助线的方法 若证明直线与圆相切 则连接直线与圆的公共点和圆心证垂直 遇到直径时 一般要引直径所对的圆周角 利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题 3 判断两线段是否相等 除一般方法 通过三角形全等 外 也可用等线段代换 或用圆心角定理及其推论证明 4 证明多点共圆的常用方法 1 证明几个点与某个定点距离相等 2 如果某两点在某条线段的同旁 证明这两点对这条线段 的张角相等 3 证明凸四边形内对角互补 或外角等于它的内角的对角 5 圆中比例线段有关定理常与圆周角 弦切角联合应用 要注意在题中找相等的角 找相似三角形 从而得到线段的比