高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

第3讲点 直线 平面之间的位置关系 1 平面基本性质即四条公理的 图形语言 文字语言 符号语言 列表 续表 2 空间线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 锐角或直角 0 90 过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 其范围是 1 2013年安徽 在下列命题中 不是公理的是 A 平行于同一个平面的两个平面相互平行B 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面C 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在 此平面内 A D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析 B C D说法均不需证明 也无法证明 是公理 A选项可以推导证明 故是定理 故选A 2 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 A 这两条直线没有公共点 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 在长方体ABCD A1B1C1D1中 既与AB共面也与CC1共 面的棱的条数为 C A 3条 B 4条 C 5条 D 6条 解析 如图D43 用列举法知 符合要求的棱为 BC CD C1D1 BB1 AA1 故选C 4 若A B A l B l P l 则 D A P B P C l D P 图D43 考点1 平面的基本性质 则 例1 若直线l不平行于平面 且lA 内的所有直线与l异面B 内不存在与l平行的直线C 内存在唯一的直线与l平行D 内的直线与l都相交 答案 B 解析 不妨设直线l M 过点M的 内的直线与l不异面 故A错误 假设存在与l平行的直线m 则由m l 得l 这与l M矛盾 故B正确 C显然错误 内存在与l异面的直线 故D错误 故选B 规律方法 直线在平面内也叫平面经过直线 如果直线不在平面内 记作l 包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1是判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 互动探究 A 1 下列推断中 错误的个数是 A l A B l B l A B C A B C 且A B C不共线 重合 l A l A A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 考点2 空间内两直线的位置关系 例2 如图8 3 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分 别是BC1 CD1的中点 则下列判断错误的是 图8 3 1 A MN与CC1垂直C MN与BD平行 B MN与AC垂直D MN与A1B1平行 答案 D 规律方法 判断直线是否平行比较简单直观 可以利用公理4 判断直线是否异面则比较困难 掌握异面直线的两种判断方法 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 再由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 在客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 互动探究 2 如图8 3 2所示的是正方体和正四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 填上所有正确答案的序号 图8 3 2 3 如图8 3 3 G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则使直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 图8 3 3 解析 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点在三棱柱的侧面上 MG与这个侧面相交于G M平面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连接MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H平面GMN 因此GH与MN异面 答案 考点3 异面直线所成的角 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求AC与A1D所成角的大小 2 若E F分别为AB AD的中点 求A1C1与EF所成角的大小 图8 3 4 解 1 如图8 3 4 连接AB1 B1C 由ABCD A1B1C1D1是正方体 易知A1D B1C 从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角 AB1 AC B1C B1CA 60 即A1D与AC所成的角为60 2 如图8 3 5 连接AC BD 图8 3 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AC BD AC A1C1 E F分别为AB AD的中点 EF BD EF AC EF A1C1 即A1C1与EF所成的角为90 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 互动探究 B 4 2014年大纲 已知在正四面体ABCD中 点E是AB的中 点 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 考点4 三点共线 三线共点的证明 图8 3 6 例4 如图8 3 6 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 1 E C D1 F四点共面 2 CE D1F DA三线共点 证明 1 如图8 3 7 连接EF CD1 A1B 图8 3 7 E F分别是AB AA1的中点 EF BA1 又A1B D1C EF CD1 E C D1 F四点共面 CE与D1F必相交 设交点为点P 如图8 3 7 则由点P CE CE 平面ABCD 得点P 平面ABCD 同理点P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA 点P 直线DA CE D1F DA三线共点 规律方法 要证明M N K三点共线 由公理3知 只要证明M N K都在两个平面的交线上即可 证明多点共线问题 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 相交两平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 互动探究 A 5 在空间四边形ABCD的边AB BC CD DA上分别取E F G H四点 若EF与GH交于点M 则 A 点M一定在AC上B 点M一定在BD上C 点M可能在AC上 也可能在BD上D 点M既不在AC上 也不在BD上解析 点M在平面ABC内 又在平面ADC内 故必在交线AC上 难点突破 利用平移求异面直线所成的角 例题 1 2012年大纲 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BB1 CC1的中点 那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 解析 如图8 3 8 连接DF 则AE DF 图8 3 8 2 2014年大纲 已知正四面体ABCD中 E是AB的中点 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 答案 B 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 1 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 2 正确理解异面直线 不同在任何一个平面内 的含义 不要理解成 不在同一个平面内 掌握异面直线的两种判断方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设肯定两条直线异面 2 客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一 点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往可以选在其中一条直线上 线面的端点或中点 利用三角形求解 4 平面几何中有些概念和性质 推广到空间不一定成立 例如 过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直 同时垂直于一条直线的两条直线平行 等性质在空间都不成立