高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第3讲 等比数列课件 文.ppt

第3讲等比数列 1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一常数 不为零 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫 做等比数列的 通常用字母q表示 公比 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an a1 qn 1 3 等比中项若G2 a b ab 0 那么G叫做a与b的等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am qn m n m N 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n N 则ak al am an 递减 4 已知等比数列 an 若首项a1 0 公比q 1或首项a10 公比01 则数列 an 单调 若公比q 1 则数列 an 为常数列 若公比q 0 则数列 an 为摆动数列 na1 C C 1 在等比数列 an 中 a4 4 则a2 a6 A 4 B 8 C 16 D 32 3 首项为1 公比为2的等比数列的前4项和S4 4 2015年广东 若三个正数a b c成等比数列 其中a 1 15 考点1等比数列的基本运算例1 1 2013年新课标 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 则a1 答案 C 2 2015年新课标 数列 an 中a1 2 an 1 2an Sn为 an 的前n项和 若Sn 126 则n 答案 6 答案 C 4 2014年江苏 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 则a6 解析 由a8 a6 2a4 得a1q7 a1q5 2a1q3 即q4 q2 2 0 q2 2或q2 1 舍去 a6 a2q4 1 22 4 答案 4 规律方法 在解决等比数列问题时 已知a1 an q n Sn中任意三个 可求其余两个 称为 知三求二 而求得a1和q是解决等比数列 an 所有运算的基本思想和方法 考点2 等比数列的基本性质及应用 例2 1 2014年广东 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 解析 因为a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10lne5 50lne 50 答案 50 2 2014年大纲 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3 S4 15 则S6 A 31 B 32 C 63 D 64 答案 C 规律方法 1 解决给项求项问题 先考虑利用等比数列的性质 若m n p q m n p q N 则am an ap aq 再考虑基本量法 2 等比数列前n项和的性质 若公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n仍是等比数列 互动探究 2n 1 1 2015年安徽 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 考点3 等差与等比数列的混合运算 例3 1 2014年大纲 等比数列 an 中 a4 2 a5 5 则 数列 lgan 的前8项和等于 A 6 B 5 C 4 D 3 答案 C 2 2014年新课标 等差数列 an 的公差为2 若a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前n项和Sn 答案 A 互动探究 2 2015年北京 已知等差数列 an 满足a1 a2 10 a4 a3 2 1 求 an 的通项公式 2 设等比数列 bn 满足b2 a3 b3 a7 求b6与数列 an 的第几项相等 解 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a4 a3 2 所以d 2 又因为a1 a2 10 所以2a1 d 10 故a1 4 所以an 4 2 n 1 2n 2 n 1 2 2 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2 a3 8 b3 a7 16 所以q 2 b1 4 所以b6 4 26 1 128 由128 2n 2 得n 63 所以b6与数列 an 的第63项相等 思想与方法 分类讨论思想在数列中的应用例题 2015年福建 若a b是函数f x x2 px q p 0 q 0 的两个不同的零点 且a b 2这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 则p q的值等于 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 D 1 等比数列的判定方法 2 方程思想 准确分析a1 q an Sn n之间的关系 通过列方程 组 可做到 知三求二 3 整体思想 在应用等比数列 an 的性质 若m n p 4 类比思想 等差数列中的 和 倍数 可以与等比数列中的 积 幂 相类比 关注它们之间的异同有助于类比思想的推广 更有利于我们从整体上把握 使我们的学习达到事半功倍的效果 3 求和时应特别注意q 1时 Sn na1这一特殊情况 4 在等比数列中 Sn S2n Sn S3n S2n未必成等比数列 例如 当公比q 1且n为偶数时 Sn S2n Sn S3n S2n不成等比数列 当q 1或q 1且n为奇数时 Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列 但等式 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 总成立