高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.5 古典概型课件(理).ppt

第五节古典概型 知识梳理 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是 的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 的和 互斥 基本事件 2 古典概型 1 2 概率计算公式 P A 特别提醒 1 古典概型中的基本事件都是互斥的 2 任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和 小题快练 链接教材练一练1 必修3P134A组T5改编 一个盒子里装有标号为1 2 3 4的4张卡片 随机地抽取2张 则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 解析 选D 从盒中装有数字1 2 3 4的4张卡片中随机抽取2张 有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6种 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有 1 2 1 4 2 3 3 4 共4种 故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 2 必修3P145复习参考题A组T5改编 盒中装有形状 大小完全相同的5个球 其中红色球3个 黄色球2个 若从中随机取出2个球 则所取出的2个球颜色不同的概率为 解析 从5个球中任取2个球有 10 种 取法 2个球颜色不同的取法有 6 种 故所求概率为答案 3 2015 广东高考 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球 其中有10个白球 5个红球 从袋中任取2个球 所取的2个球中恰有1个白球 1个红球的概率为 解析 选C 从袋中任取2个球共有 105种 其中恰好1个白球 1个红球共有 50种 所以恰好1个白球 1个红球的概率为 4 2014 湖北高考 随机掷两枚质地均匀的骰子 它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1 点数之和大于5的概率记为p2 点数之和为偶数的概率记为p3 则 A p1 p2 p3B p2 p1 p3C p1 p3 p2D p3 p1 p2 解析 选C 列表得 所以一共有36种等可能的结果 两枚骰子点数之和不超过5的有10种情况 点数之和大于5的有26种情况 点数之和为偶数的有18种情况 所以向上的点数之和不超过5的概率点数之和大于5的概率点数之和为偶数的概率 5 2015 江苏高考 袋中有形状 大小都相同的4只球 其中1只白球 1只红球 2只黄球 从中一次随机摸出2只球 则这2只球颜色不同的概率为 解析 设4只球分别为白 红 黄1 黄2 从中一次随机摸出2只球 所有基本事件为 白 红 白 黄1 白 黄2 红 黄1 红 黄2 黄1 黄2 共6个 颜色不同的有 白 红 白 黄1 白 黄2 红 黄1 红 黄2 共5个 所以2只球颜色不同的概率为 答案 6 2014 上海高考 为强化安全意识 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练 则选择的3天恰好为连续3天的概率是 结果用最简分数表示 解析 基本事件总数为120 3天恰好连续共有8种选法 所以所求的概率为答案 考向一古典概型简单应用问题 典例1 1 2015 全国卷 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 2 2015 天津高考 设甲 乙 丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27 9 18 先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛 求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数 将抽取的6名运动员进行编号 编号分别为A1 A2 A3 A4 A5 A6 从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛 i 用所给编号列出所有可能的结果 ii 设A为事件 编号为A5 A6的两名运动员至少有一人被抽到 求事件A发生的概率 解题导引 1 用排列组合求出所有结果 并分析其中的勾股数 根据古典概型求解 2 根据分层抽样的每层抽样比相同 直接求解 i 用列举法列出基本事件 ii 用列举法求出A包含的基本事件数 利用古典概型的概率公式计算 规范解答 1 选C 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数有 10 种 其中只有 3 4 5 一组勾股数 所以3个数构成一组勾股数的概率为 2 应从甲 乙 丙这三个协会中分别抽取的运动员人数为3 1 2 i 从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛 所有可能的结果为共15种 ii 编号为A5 A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为共9种 所以事件A发生的概率 一题多解 解答本题 2 还有以下解法 由已知得事件A的对立事件 抽取2名运动员中没有A5和A6 的结果有 所以发生的概率为所以 母题变式 1 若本例题 1 条件 1 2 3 4 5 变为 6 7 8 9 10 结果如何 解析 由 1 解析知从6 7 8 9 10中任取3个不同的数有10种取法 其中 6 8 10 为一组勾股数 共一种 所以3个数构成一组勾股数的概率为 2 若本例题 1 条件 1 2 3 4 5 变为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则结果如何 解析 由已知 从10个数中任取三个数有 120种 其中 3 4 5 6 8 10 为勾股数 共2种 所以3个数构成一组勾股数的概率为 规律方法 1 应用古典概型求某事件的步骤第一步 判断本试验的结果是否为等可能事件 设出所求事件A 第二步 分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m 第三步 利用公式P A 求出事件A的概率 2 基本事件个数的确定方法 变式训练 2015 山东高考 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况 数据如表 单位 人 1 从该班随机选1名同学 求该同学至少参加上述一个社团的概率 2 在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中 有5名男同学A1 A2 A3 A4 A5 3名女同学B1 B2 B3 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人 求A1被选中且B1未被选中的概率 解析 1 记 该同学至少参加上述一个社团为事件A 则所以该同学至少参加上述一个社团的概率为 2 从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A3 B1 A3 B2 A3 B3 A4 B1 A4 B2 A4 B3 A5 B1 A5 B2 A5 B3 共15个 其中A1被选中且B1未被选中的有 A1 B2 A1 B3 共2个 所以A1被选中且B1未被选中的概率为P 加固训练 1 如图给定6个点 任意相邻两点距离为1 A B C D E F组成正三角形点阵 在其中任意取两个点 则两点间的距离为2的概率是 解析 选B 从6个点中选出2个的选法共有15种 若使得取出的两点中距离为2 有 D F三种 所以 2 2016 衡水模拟 某艺校在一天的6节课中随机安排语文 数学 外语三门文化课和其他三门艺术课各1节 则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 用数字作答 解析 当每两节文化课之间都有一节艺术课时 共有 72种排法 当有两节文化课排在一起时 共有 216种排法 当三节文化课排在一起时 共有 144种排法 所以在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为答案 考向二应用古典概型计算较复杂事件的概率问题 考情快递 考题例析 命题方向1 古典概型与统计知识的交汇问题 典例2 2016 兰州模拟 某单位N名员工参加 社区低碳你我他 活动 他们的年龄在25岁至50岁之间 按年龄分组 第1组 25 30 第2组 30 35 第3组 35 40 第4组 40 45 第5组 45 50 得到的频率分布直方图如图所示 下表是年龄的频数分布表 1 求正整数a b N的值 2 现要从年龄较小的第1 2 3组中用分层抽样的方法抽取6人 则年龄在第1 2 3组的人数分别是多少 3 在 2 的条件下 从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动 求恰有1人在第3组的概率 解题导引 1 由频率分布直方图的性质求解 2 先求出1 2 3组的总人数 再求出分层抽样比 然后算得各组人数 3 利用古典概型计算 规范解答 1 由题中的频率分布直方图可知 a 25 且b 25 100 总人数N 250 2 因为第1 2 3组共有25 25 100 150 人 利用分层抽样在150人中抽取6人 每组抽取的人数分别为 第1组的人数为6 1 人 第2组的人数为6 1 人 第3组的人数为6 4 人 所以第1 2 3组分别抽取1人 1人 4人 3 由 2 可设第1组的1人为A 第2组的1人为B 第3组的4人分别为C1 C2 C3 C4 则从6人中抽取2人的所有可能结果为 A B A C1 A C2 A C3 A C4 B C1 B C2 B C3 B C4 C1 C2 C1 C3 C1 C4 C2 C3 C2 C4 C3 C4 共15种 其中恰有1人在第3组的所有结果为 A C1 A C2 A C3 A C4 B C1 B C2 B C3 B C4 共8种 所以恰有1人在第3组的概率为 命题方向2 古典概型与其他数学知识的交汇问题 典例3 2016 武汉模拟 从集合 2 3 4 5 中随机抽取一个数a 从集合 1 3 5 中随机抽取一个数b 则向量m a b 与向量n 1 1 垂直的概率为 解题导引 先用排列组合计算出基本事件总数 再求出满足条件m n的基本事件数 代入古典概型概率公式求解 规范解答 选A 由题意可知m a b 有 12 种 m n 即m n 0 所以a 1 b 1 0 即a b 满足条件的有 3 3 5 5 共2种情况 所以所求概率为 易错警示 解答本题有两点容易出错 1 用排列组合计算基本事件总数时 误为组合而致误 2 求满足条件m n的m向量时 基本事件数统计错而致误 技法感悟 1 求解古典概型与统计交汇问题的思路 1 依据题目的直接描述或频率分布表 频率分布直方图 茎叶图等统计图表给出的信息 提炼出需要的信息 2 进行统计与古典概型概率的正确计算 2 求解古典概型与其他数学知识交汇问题的思路 1 利用涉及的相关的数学知识 找到所求事件满足的约束条件 2 选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数 3 利用古典概型概率公式求出概率 题组通关 1 2016 衡水模拟 投掷两颗骰子 得到其向上的点数分别为m和n 则复数 m ni n mi 为实数的概率为 解析 选C 因为 m ni n mi 2mn n2 m2 i 所以要使其为实数 须n2 m2 即m n 由已知得 事件的总数为36 m n 有 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 共6个 所以为实数的概率为 2 2016 哈尔滨模拟 某同学同时掷两颗骰子 得到点数分别为a b 则椭圆的离心率e 的概率是 解析 选D 当a b时 符合a 2b的情况有 当b 1时 有a 3 4 5 6四种情况 当b 2时 有a 5 6两种情况 总共有6种情况 则概率是同理当a的概率也为 综上可知e 的概率为 3 2016 临汾模拟 将一颗骰子抛掷两次 所得向上点数分别为m n 则函数y mx3 nx 1在 1 上为增函数的概率是 解析 选B 因为y mx3 nx 1 所以y 2mx2 n 令y 0得x 所以是函数的两个极值点 所以函数在上是增函数 则 1 即n 2m 通过建立关于m n的坐标系可得出满足n 2m的点有30个 由古典概型公式可得函数y mx3 nx 1在 1 上为增函数的概率是 4 2016 沧州模拟 某中学举行了一次 社会主义核心价值观知识竞赛 活动 为了解本次竞赛中学生成绩情况 从全体学生中随机抽取了部分学生的分数 得分取整数且不低于50分 满分100分 作为样本 样本容量为n 进行统计 按照 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 的分组作出频率分布直方图 并作出茎叶图 图中仅列出来 50 60 90 100 这两组的数据 1 求样本容量n和频率分布直方图中的x y 2 在选取的样本中 从样本中竞赛成绩80分以上 含80分 的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动 求所抽取的2名同学来自不同组的概率 解析 1 由题意可知 样本容量x 0 1 0 004 0 010 0 016 0 040 0 030 2 由题意可知 分数在 80 90 的有5人 分别记为1 2 3 4 5 分数在 90 100 有2人 分别记为a b 从竞赛成绩是80分以上 含80分 的同学中随机抽取2名同学有如下情形 1 2 1 3 1 4 1 5 1 a 1 b 2 3 2 4 2 5 2 a 2 b 3 4 3 5 3 a 3 b 4 5 4 a 4 b 5 a 5 b a b 共有21个基本事件 其中符合 抽取的2名同学来自不同组 的基本事件有 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b 5 a 5 b 共10个 所以抽取的2名同学来自不同组的概率