高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理课件 理.ppt

第十三章推理与证明 算法 复数 13 1合情推理与演绎推理 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 合情推理 1 归纳推理 定义 从个别事实中推演出一般性的结论 称为归纳推理 简称归纳法 特点 归纳推理是由到整体 由到一般的推理 2 类比推理 定义 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其他方面也相似或相同 像这样的推理通常称为类比推理 简称类比法 特点 类比推理是由到的推理 部分 个别 特殊 特殊 知识梳理 1 答案 3 合情推理合情推理是根据已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理 2 演绎推理 1 演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理 简言之 演绎推理是由到的推理 一般 特殊 答案 2 三段论 是演绎推理的一般模式 大前提 已知的 小前提 所研究的 结论 根据一般原理 对做出的判断 一般原理 特殊情况 特殊情况 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 这是一种合情推理 3 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 4 所有3的倍数都是9的倍数 某数m是3的倍数 则m一定是9的倍数 这是三段论推理 但其结论是错误的 5 一个数列的前三项是1 2 3 那么这个数列的通项公式是an n n N 6 在演绎推理中 只要符合演绎推理的形式 结论就一定正确 思考辨析 答案 1 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 解析从给出的式子特点观察可推知 等式右端的值 从第三项开始 后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和 依据此规律 a10 b10 123 123 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 命题 有些有理数是无限循环小数 整数是有理数 所以整数是无限循环小数 是假命题 推理错误的原因是 使用了归纳推理 使用了类比推理 使用了 三段论 但推理形式错误 使用了 三段论 但小前提错误 解析由 三段论 的推理方式可知 该推理的错误原因是推理形式错误 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 福建 已知集合 a b c 0 1 2 且下列三个关系 a 2 b 2 c 0有且只有一个正确 则100a 10b c 解析答案 1 2 3 4 5 解析因为三个关系中只有一个正确 分三种情况讨论 所以解得a b 1 c 0 或a 1 b c 0 或b 1 a c 0 与互异性矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 所以100a 10b c 201 答案201 1 2 3 4 5 4 类比平面内 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 的性质 可得出空间内的下列结论 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 则正确的结论是 解析显然 正确 对于 在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行 也可以异面或相交 对于 在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行 也可以相交 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 在等差数列 an 中 若a10 0 则有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 类比上述性质 在等比数列 bn 中 若b9 1 则b1b2b3b4 bn b1b2b3b4 b17 n n 17 n N 1 2 3 4 5 答案 返回 题型分类深度剖析 命题点1与数字有关的等式的推理 例1 2015 陕西 观察下列等式 据此规律 第n个等式可为 题型一归纳推理 解析答案 解析等式左边的特征 第1个等式有2项 第2个有4项 第3个有6项 且正负交错 故第n个等式左边有2n项且正负交错 等式右边的特征 第1个有1项 第2个有2项 第3个有3项 命题点2与不等式有关的推理 解析第一个式子是n 1的情况 此时a 11 1 第二个式子是n 2的情况 此时a 22 4 第三个式子是n 3的情况 此时a 33 27 归纳可知a nn nn 解析答案 命题点3与数列有关的推理 正方形数N n 4 n2 六边形数N n 6 2n2 n 可以推测N n k 的表达式 由此计算N 10 24 解析答案 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推测 答案1000 命题点4与图形变化有关的推理 例4某种平面分形图如下图所示 一级分形图是由一点出发的三条线段 长度均为1 两两夹角为120 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段 且这两条线段与原线段两夹角为120 依此规律得到n级分形图 1 n级分形图中共有 条线段 解析分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段 由题图知 一级分形图中有3 3 2 3 条线段 二级分形图中有9 3 22 3 条线段 三级分形图中有21 3 23 3 条线段 按此规律n级分形图中的线段条数an 3 2n 3 n N 3 2n 3 解析答案 2 n级分形图中所有线段长度之和为 解析答案 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1 与数字有关的等式的推理 观察数字特点 找出等式左右两侧的规律及符号可解 2 与不等式有关的推理 观察每个不等式的特点 注意是纵向看 找到规律后可解 3 与数列有关的推理 通常是先求出几个特殊现象 采用不完全归纳法 找出数列的项与项数的关系 列出即可 4 与图形变化有关的推理 合理利用特殊图形归纳推理得出结论 并用赋值检验法验证其真伪性 思维升华 1 观察下图 可推断出 x 处应该填的数字是 解析由前两个图形发现 中间数等于四周四个数的平方和 x 处应填的数字是32 52 72 102 183 183 解析答案 跟踪训练1 2 如图 有一个六边形的点阵 它的中心是1个点 算第1层 第2层每边有2个点 第3层每边有3个点 依此类推 如果一个六边形点阵共有169个点 那么它的层数为 解析由题意知 第1层的点数为1 第2层的点数为6 第3层的点数为2 6 第4层的点数为3 6 第5层的点数为4 6 第n n 2 n N 层的点数为6 n 1 设一个点阵有n n 2 n N 层 由题意得3n2 3n 1 169 即 n 7 n 8 0 所以n 8 故共有8层 8 解析答案 例5已知数列 an 为等差数列 若am a an b n m 1 m n N 则am n 类比等差数列 an 的上述结论 对于等比数列 bn bn 0 n N 若bm c bn d n m 2 m n N 则可以得到bm n 解析设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q 题型二类比推理 解析答案 思维升华 1 进行类比推理 应从具体问题出发 通过观察 分析 联想进行类比 提出猜想 其中找到合适的类比对象是解题的关键 2 类比推理常见的情形有平面与空间类比 低维的与高维的类比 等差数列与等比数列类比 数的运算与向量的运算类比 圆锥曲线间的类比等 思维升华 解析设ha hb hc hd分别是三棱锥A BCD四个面上的高 P为三棱锥A BCD内任一点 P到相应四个面的距离分别为Pa Pb Pc Pd 跟踪训练2 解析答案 n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn 大前提是等比数列的定义 这里省略了 题型三演绎推理 解析答案 2 Sn 1 4an 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 对于任意正整数n 都有Sn 1 4an 结论 第 2 问的大前提是第 1 问的结论以及题中的已知条件 解析答案 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理 常用的一般模式为三段论 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 解题时要找准正确的大前提 一般地 若大前提不明确时 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 思维升华 某国家流传这样的一个政治笑话 鹅吃白菜 参议员先生也吃白菜 所以参议员先生是鹅 结论显然是错误的 是因为 大前提错误 小前提错误 推理形式错误 非以上错误 解析因为大前提的形式 鹅吃白菜 不是全称命题 大前提本身正确 小前提 参议员先生也吃白菜 本身也正确 但不是大前提下的特殊情况 鹅与人不能类比 所以不符合三段论推理形式 所以推理形式错误 跟踪训练3 解析答案 返回 高频小考点 典例1 1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数1 3 6 10 记为数列 an 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 b2014是数列 an 的第 项 b2k 1 用k表示 高频小考点 10 高考中的合情推理问题 解析答案 解析答案 答案 5035 2 设S T是R的两个非空子集 如果存在一个从S到T的函数y f x 满足 1 T f x x S 2 对任意x1 x2 S 当x1 x2时 恒有f x1 f x2 那么称这两个集合 保序同构 以下集合对不是 保序同构 的是 A N B N A x 1 x 3 B x x 8或0 x 10 A x 0 x 1 B R A Z B Q 解析答案 温馨提醒 返回 解析对于 取f x x 1 x N 所以A N B N是 保序同构 的 故 是 不符合 不是保序同构 答案 温馨提醒 1 解决归纳推理问题 常因条件不足 了解不全面而致误 应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳 2 解决类比问题 应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由 再去类比另一类问题 返回 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 合情推理的过程概括为 2 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况的结论的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段论 数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 方法与技巧 1 合情推理是从已知的结论推测未知的结论 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明 2 演绎推理是由一般到特殊的证明 它常用来证明和推理数学问题 注意推理过程的严密性 书写格式的规范性 3 合情推理中运用猜想时不能凭空想象 要有猜想或拓展依据 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 下列推理是归纳推理的是 A B为定点 动点P满足PA PB 2a AB 则P点的轨迹为椭圆 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜想出数列的前n项和Sn的表达式 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析从S1 S2 S3猜想出数列的前n项和Sn 是从特殊到一般的推理 所以 是归纳推理 解析答案 2 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此f x sin x2 1 是奇函数 以上推理 结论正确 大前提不正确 小前提不正确 全不正确 解析f x sin x2 1 不是正弦函数 所以小前提错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 平面内有n条直线 最多可将平面分成f n 个区域 则f n 的表达式为f n 解析1条直线将平面分成1 1个区域 2条直线最多可将平面分成1 1 2 4个区域 3条直线最多可将平面分成1 1 2 3 7个区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中正确结论的个数是 解析 a b n an bn n 1 a b 0 故 错误 sin sin sin 不恒成立 由向量的运算公式知 正确 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若 cn 是等比数列 即 dn 为等比数列 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 观察下列不等式 照此规律 第五个不等式为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析观察每行不等式的特点 每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等 且每行右端分数的分子构成等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析设P1 x1 y1 P2 x2 y2 因为P0 x0 y0 在这两条切线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由等比数列的性质可知b1b30 b2b29 b11b20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 并注意到在这三个特殊式子中 自变量之和均等于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 归纳猜想得 当x1 x2 1时 解析答案 证明 设x1 x2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解如图所示 由射影定理得AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又BC2 AB2 AC2 猜想 四面体A BCD中 AB AC AD两两垂直 AE 平面BCD 解析答案 证明 如图 连结BE并延长交CD于F 连结AF AB AC AB AD AC AD D AC 平面ACD AD 平面ACD AB 平面ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 AF 平面ACD AB AF 11 已知 正方形的对角线相等 矩形的对角线相等 正方形是矩形 根据 三段论 推理出一个结论 则这个结论是 填序号 解析根据演绎推理的特点 正方形与矩形是特殊与一般的关系 所以结论是正方形的对角线相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 如图 我们知道 圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形 又圆环的面积S R2 r2 R r 2 所以 圆环的面积等于以线段AB R r为宽 以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2 为长的矩形面积 请你将上述想法拓展到空间 并解决下列问题 若将平面区域M x y x d 2 y2 r2 其中0 r d 绕y轴旋转一周 则所形成的旋转体的体积是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析平面区域M的面积为 r2 由类比知识可知 平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎 旋转体的体积等于以圆 面积为 r2 为底 以O为圆心 d为半径的圆的周长2 d为高的圆柱的体积 所以旋转体的体积V r2 2 d 2 2r2d 答案2 2r2d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 如图 1 若从点O所作的两条射线OM ON上分别有点M1 M2与点N1 N2 则三角形面积之比 如图 2 若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP OQ和OR上分别有点P1 P2 点Q1 Q2和点R1 R2 则类似的结论为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故体积之比为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 sin213 cos217 sin13 cos17 sin215 cos215 sin15 cos15 sin218 cos212 sin18 cos12 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 解 1 选择 式 计算如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 解三角恒等式为 证明如下 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin2 cos30 cos sin30 sin 2 sin cos30 cos sin30 sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 对于三次函数f x ax3 bx2 cx d a 0 给出定义 设f x 是函数y f x 的导数 f x 是f x 的导数 若方程f x 0有实数解x0 则称点 x0 f x0 为函数y f x 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 若请你根据这一发现 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求函数f x 的对称中心 解f x x2 x 3 f x 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回