高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理.ppt

第八章立体几何 8 2空间点 直线 平面之间的位置关系 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 四个公理公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的 公理3 经过的三点 有且只有一个平面 两点 一条直线 不在同一条直线上 知识梳理 1 答案 推论1经过一条直线和有且只有一个平面 推论2经过 有且只有一个平面 推论3经过 有且只有一个平面 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 这条直线外的一点 两条相交直线 两条平行直线 平行 答案 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 平行 相交 任何 答案 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点O作直线a a b b 我们把直线a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 锐角 或直角 答案 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向 那么这两个角 平行 相交 在平面内 平行 相交 平行 相同 相等 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于过A点的任意一条直线 3 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于A点 并记作 A 4 两个平面ABC与DBC相交于线段BC 5 经过两条相交直线 有且只有一个平面 6 没有公共点的两条直线是异面直线 思考辨析 答案 1 下列命题正确的个数为 梯形可以确定一个平面 若两条直线和第三条直线所成的角相等 则这两条直线平行 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 解析 中两直线可以平行 相交或异面 中若三个点在同一条直线上 则两个平面相交 正确 2 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b 一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行直线 若b c 则a b 与已知a b为异面直线相矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 3 两两平行的三条直线可确定 个平面 解析三直线共面确定1个 三直线不共面 每两条确定1个 可确定3个 1或3 解析答案 1 2 3 4 5 解析 BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即 EGF EGF 45 AE与BG所成的角等于BF与BG 45 60 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 答案 在 MON中 MN OM ON 解析如图 取BC的中点O 连结MO NO MN 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 1 E C D1 F四点共面 证明如图 连结EF CD1 A1B E F分别是AB AA1的中点 EF BA1 又A1B D1C EF CD1 E C D1 F四点共面 题型一平面基本性质的应用 解析答案 2 CE D1F DA三线共点 证明 EF CD1 EF CD1 CE与D1F必相交 设交点为P 如图所示 则由P CE CE 平面ABCD 得P 平面ABCD 同理P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA P 直线DA CE D1F DA三线共点 解析答案 思维升华 思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理3及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理2是证明三线共点或三点共线的依据 如图 平面ABEF 平面ABCD 四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形 BAD FAB 90 BC AD且BC AD BE AF且BE AF G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 证明由已知FG GA FH HD 四边形BCHG为平行四边形 跟踪训练1 解析答案 2 C D F E四点是否共面 为什么 BE綊FG 四边形BEFG为平行四边形 EF BG 由 1 知BG綊CH EF CH EF与CH共面 又D FH C D F E四点共面 解析答案 例2 1 2015 广东改编 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 l与l1 l2都不相交 l与l1 l2都相交 l至多与l1 l2中的一条相交 l至少与l1 l2中的一条相交 题型二判断空间两直线的位置关系 解析若l与l1 l2都不相交 则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 解析答案 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是BC1 CD1的中点 则下列判断错误的是 MN与CC1垂直 MN与AC垂直 MN与BD平行 MN与A1B1平行 解析答案 解析如图 连结B1C B1D1 则点M是B1C的中点 MN是 B1CD1的中位线 MN B1D1 CC1 B1D1 AC B1D1 BD B1D1 MN CC1 MN AC MN BD 又 A1B1与B1D1相交 MN与A1B1不平行 答案 3 在图中 G N M H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析答案 思维升华 解析图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点共面 但M 面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连结MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H 面GMN 因此GH与MN异面 所以图 中GH与MN异面 答案 思维升华 思维升华 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 如图是正四面体 各面均为正三角形 的平面展开图 G H M N分别为DE BE EF EC的中点 在这个正四面体中 GH与EF平行 BD与MN为异面直线 GH与MN成60 角 DE与MN垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 跟踪训练2 解析答案 解析把正四面体的平面展开还原 如图所示 GH与EF为异面直线 BD与MN为异面直线 GH与MN成60 角 DE MN 答案 例3 1 如图所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D是AC的中点 AA1 AB 1 则异面直线AB1与BD所成的角为 解析取A1C1的中点E 连结B1E ED AE 在Rt AB1E中 AB1E即为所求 故 AB1E 60 所以异面直线AB1与BD所成的角为60 60 题型三求两条异面直线所成的角 解析答案 2 空间四边形ABCD中 AB CD且AB与CD所成的角为30 E F分别为BC AD的中点 求EF与AB所成角的大小 解析答案 思维升华 解如图 取AC的中点G 连结EG FG 由AB CD知EG FG GEF 或它的补角 为EF与AB所成的角 EGF 或它的补角 为AB与CD所成的角 解析答案 思维升华 AB与CD所成的角为30 EGF 30 或150 由EG FG知 EFG为等腰三角形 当 EGF 30 时 GEF 75 当 EGF 150 时 GEF 15 故EF与AB所成的角为15 或75 思维升华 思维升华 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的三步曲 即 一作 二证 三求 其中空间选点任意 但要灵活 经常选择 端点 中点 等分点 通过作三角形的中位线 平行四边形等进行平移 作出异面直线所成的角 转化为解三角形问题 进而求解 1 已知正四面体ABCD中 E是AB的中点 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 跟踪训练3 解析答案 解析画出正四面体ABCD的直观图 如图所示 设其棱长为2 取AD的中点F 连结EF 设EF的中点为O 连结CO 则EF BD 则 FEC就是异面直线CE与BD所成的角 ABC为等边三角形 则CE AB 解析答案 故CE CF 因为OE OF 所以CO EF 2 直三棱柱ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA1 则异面直线BA1与AC1所成的角等于 解析如图 可补成一个正方体 AC1 BD1 BA1与AC1所成角的大小为 A1BD1 又易知 A1BD1为正三角形 A1BD1 60 即BA1与AC1成60 的角 60 解析答案 返回 思想与方法系列 典例已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确的命题是 思维点拨构造一个长方体模型 找出适合条件的直线与平面 在长方体内判断它们的位置关系 思想与方法系列 15 构造模型判断空间线面位置关系 温馨提醒 解析答案 思维点拨 返回 解析借助于长方体模型来解决本题 对于 可以得到平面 互相垂直 如图 1 所示 故 正确 对于 平面 可能垂直 如图 2 所示 故 不正确 对于 平面 可能垂直 如图 3 所示 故 不正确 对于 由m 可得m 因为n 所以过n作平面 且 g 如图 4 所示 所以n与交线g平行 因为m g 所以m n 故 正确 答案 温馨提醒 温馨提醒 1 构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型 然后将问题利用模型直观地作出判断 这样减少了抽象性 避免了因考虑不全面而导致解题错误 2 对于线面 面面平行 垂直的位置关系的判定 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 返回 思想与方法系列 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理2可知这些点在交线上 因此共线 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 方法与技巧 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往可以选在其中一条直线上 线面的端点或中点 利用三角形求解 方法与技巧 1 正确理解异面直线 不同在任何一个平面内 的含义 不要理解成 不在同一个平面内 2 不共线的三点确定一个平面 一定不能丢掉 不共线 条件 3 两条异面直线所成角的范围是 0 90 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 在下列命题中 不是公理的是 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 是面面平行的性质定理 是由公理推证出来的 而公理是不需要证明的 15 解析答案 2 2014 广东改编 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 l1 l4 l1 l4 l1与l4既不垂直也不平行 l1与l4的位置关系不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析在如图所示的长方体中 不妨设l2为直线AA1 l3为直线CC1 则直线l1 l4可以是AB BC 也可以是AB CD 也可以是AB B1C1 这三组直线相交 平行 垂直 异面 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 设P表示一个点 a b表示两条直线 表示两个平面 给出下列四个命题 其中正确的命题是 P a P a a b P b a a b a P b P b b P P P b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析当a P时 P a P 但a 错 a P时 错 如图 a b P b P a 由直线a与点P确定唯一平面 又a b 由a与b确定唯一平面 但 经过直线a与点P 与 重合 b 故 正确 两个平面的公共点必在其交线上 故 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析因为四边形ABCD为正方形 故CD AB 则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角 即为 PAB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 如图所示 平面 两两相交 a b c为三条交线 且a b 则a与c b与c的位置关系是 解析 a b a b b 又 b c b c a b c a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且AB CD 则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 解析EF与正方体左 右两侧面均平行 所以与EF相交的侧面有4个 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 2015 浙江 如图 三棱锥ABCD中 AB AC BD CD 3 AD BC 2 点M N分别是AD BC的中点 则异面直线AN CM所成的角的余弦值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如图所示 连结DN 取线段DN的中点K 连结MK CK M为AD的中点 MK AN KMC为异面直线AN CM所成的角 AB AC BD CD 3 AD BC 2 N为BC的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 CC1的中点 则在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线有 条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 方法二在A1D1上任取一点P 过点P与直线EF作一个平面 因CD与平面 不平行 所以它们相交 设它们交于点Q 连结PQ 则PQ与EF必然相交 即PQ为所求直线 由点P的任意性 知有无数条直线与三条直线A1D1 EF CD都相交 答案无数 解析方法一在EF上任意取一点M 直线A1D1与M确定一个平面 这个平面与CD有且仅有1个交点N M取不同的位置就确定不同的平面 从而与CD有不同的交点N 而直线MN与这3条异面直线都有交点 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 如图 空间四边形ABCD中 E F G分别在AB BC CD上 且满足AE EB CF FB 2 1 CG GD 3 1 过E F G的平面交AD于点H 1 求AH HD EF 平面ACD 而EF 平面EFGH 平面EFGH 平面ACD GH EF GH AC GH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求证 EH FG BD三线共点 EF GH 四边形EFGH为梯形 令EH FG P 则P EH 而EH 平面ABD 又P FG FG 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD P BD EH FG BD三线共点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 以下四个命题中 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则点A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 中显然是正确的 中若A B C三点共线 则A B C D E五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 如图 矩形ABCD中 AB 2AD E为边AB的中点 将 ADE沿直线DE翻折成 A1DE 若M为线段A1C的中点 则在 ADE翻折过程中 下面四个命题中不正确的是 BM是定值 点M在某个球面上运动 存在某个位置 使DE A1C 存在某个位置 使MB 平面A1DE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析取DC中点F 连结MF BF MF A1D且MF A1D FB ED且FB ED 所以 MFB A1DE 由余弦定理可得MB2 MF2 FB2 2MF FB cos MFB是定值 所以M是在以B为圆心 MB为半径的球上 可得A B正确 由MF A1D与FB ED可得平面MBF 平面A1DE 可得D正确 A1C在平面ABCD中的射影与AC重合 AC与DE不垂直 可得 不正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知a b c为三条不同的直线 且a 平面 b 平面 c 给出下列命题 若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 若a不垂直于c 则a与b一定不垂直 若a b 则必有a c 若a b a c 则必有 其中正确命题的个数是 解析命题 正确 命题 错误 其中命题 中a与b有可能垂直 命题 中当b c时 平面 有可能不垂直 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为正方形ABCD的中心 H为直线B1D与平面ACD1的交点 求证 D1 H O三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 又H B1D B1D 平面BB1D1D 则H 平面BB1D1D 平面ACD1 平面BB1D1D OD1 H OD1 即D1 H O三点共线 证明连结BD B1D1 如图 则BD AC O BB1綊DD1 四边形BB1D1D为平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解如图所示 取AC的中点F 连结EF BF 在 ACD中 E F分别是AD AC的中点 EF CD BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回