高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件(理).ppt

第三节圆的方程 知识梳理 1 圆的定义 方程 定点 定长 a b r D2 E2 4F 0 2 点与圆的位置关系点M x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 点M x0 y0 在圆外 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点M x0 y0 在圆上 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点M x0 y0 在圆内 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 特别提醒 1 解答圆的问题的关键注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 2 二元二次方程表示圆的条件对于方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆时易忽视D2 E2 4F 0这一条件 小题快练 链接教材练一练1 必修2P124T1 2 改编 圆x2 y2 2x 4y 1 0的圆心坐标是 半径是 解析 由x2 y2 2x 4y 1 0得 x 1 2 y 2 2 6 所以该圆的圆心坐标为 1 2 半径为答案 1 2 2 必修2P124T4改编 已知圆C经过A 5 2 B 1 4 两点 圆心在x轴上 则圆C的方程为 解析 因为圆心在x轴上 设圆心为 a 0 所以圆的方程为 x a 2 y2 r2 又因为A 5 2 B 1 4 在圆上 所以解得a 1 r2 20 所以圆的方程为 x 1 2 y2 20 答案 x 1 2 y2 20 感悟考题试一试3 2015 北京高考 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 A x 1 2 y 1 2 1B x 1 2 y 1 2 1C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2 解析 选D 半径r 所以圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 4 2016 天水模拟 圆 x 2 2 y2 5关于直线y x对称的圆的方程为 A x 2 2 y2 5B x2 y 2 2 5C x 2 2 y 2 2 5D x2 y 2 2 5 解析 选D 由题意知所求圆的圆心坐标为 0 2 所以所求圆的方程为x2 y 2 2 5 5 2016 太原模拟 以 1 0 为圆心 且与直线x y 3 0相切的圆的方程是 A x 1 2 y2 8B x 1 2 y2 8C x 1 2 y2 16D x 1 2 y2 16 解析 选A 因为所求圆的圆心坐标为M 1 0 所以可排除B D 因为所求圆与直线x y 3 0相切 所以圆心M 1 0 到直线x y 3 0的距离即为该圆的半径r 即r 4 可排除C 所以所求圆的方程为 x 1 2 y2 2 8 考向一求圆的方程 典例1 1 2015 全国卷 过三点A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圆交y轴于M N两点 则 MN A 2B 8C 4D 10 2 在平面直角坐标系xOy中 求与x轴相交于A 1 0 和B 5 0 两点且半径为的圆的标准方程 解题导引 1 利用三点A 1 3 B 4 2 C 1 7 求出圆的方程 令x 0 求出y的值 从而求出 MN 的值 2 因为已知圆的半径 所以可设圆的标准方程 利用待定系数法求解 规范解答 1 选C 由已知得kAB kCB 所以kAB kCB 1 所以AB CB 即 ABC为直角三角形 其外接圆圆心为 1 2 半径r 5 所以外接圆方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0得y 2 2 所以 MN 4 2 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 5 因为点A B在圆上 所以可得到方程组 所以圆的标准方程是 x 3 2 y 1 2 5或 x 3 2 y 1 2 5 一题多解 解答本例 2 还有如下解法 解析 由于A B两点在圆上 那么线段AB是圆的一条弦 根据平面几何知识 这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x 3上 于是可以设圆心为C 3 b 又AC 得解得b 1或b 1 因此 所求圆的标准方程为 x 3 2 y 1 2 5或 x 3 2 y 1 2 5 规律方法 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于D E F的方程组 进而求出D E F的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 变式训练 1 已知圆C1 x 1 2 y 1 2 1 圆C2与圆C1关于直线x y 1 0对称 则圆C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1B x 2 2 y 2 2 1C x 2 2 y 2 2 1D x 2 2 y 2 2 1 解析 选B 圆C1 x 1 2 y 1 2 1的圆心坐标 1 1 关于直线x y 1 0对称的圆心坐标为 2 2 所求的圆C2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 2 2015 湖北高考 如图 已知圆C与x轴相切于点T 1 0 与y轴正半轴交于两点A B B在A的上方 且 AB 2 1 圆C的标准方程为 2 圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 解析 1 设点C的坐标为 x0 y0 则由圆C与x轴相切于点T 1 0 知 点C的横坐标为1 即x0 1 半径r y0 又因为 AB 2 所以12 12 y02 即y0 r 所以圆C的标准方程为 x 1 2 y 2 2 2 令x 0得 B 0 1 设圆C在点B处的切线方程为y 1 kx 则圆心C到其距离为 d 解之得k 1 即圆C在点B处的切线方程为y x 1 于是令y 0可得x 1 即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 1 答案 1 x 1 2 y 2 2 2 1 加固训练 1 经过点 1 0 且圆心是两直线x 1与x y 2的交点的圆的方程为 A x 1 2 y2 1B x 1 2 y 1 2 1C x2 y 1 2 1D x 1 2 y 1 2 2 解析 选B 由即所求圆的圆心坐标为 1 1 又由该圆过点 1 0 得其半径为1 故圆的方程为 x 1 2 y 1 2 1 2 若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则实数a的取值范围是 A 11或a 1D a 1 解析 选A 因为点 1 1 在圆内 所以 1 a 2 1 a 2 4 即 1 a 1 3 圆心在y轴上且通过点 3 1 的圆与x轴相切 则该圆的方程是 A x2 y2 10y 0B x2 y2 10y 0C x2 y2 10 x 0D x2 y2 10 x 0 解析 选B 设圆心为 0 b 半径为R 则R b 所以圆的方程为x2 y b 2 b2 因为点 3 1 在圆上 所以9 1 b 2 b2 解得b 5 所以圆的方程为x2 y2 10y 0 4 2016 沈阳模拟 圆心在直线x 2上的圆与y轴交于两点A 0 4 B 0 2 则该圆的标准方程为 解析 设圆心为 2 a 因为圆与y轴交于两点A 0 4 B 0 2 即截y轴所得弦长为2 所以圆的半径为r 故圆的标准方程为 x 2 2 y 3 2 5 答案 x 2 2 y 3 2 5 5 已知两点A 0 3 B 4 0 若点P是圆x2 y2 2y 0上的动点 则 ABP面积的最小值为 解析 如图 过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P 这时 ABP的面积最小 直线AB的方程为即3x 4y 12 0 圆心C到直线AB的距离为所以 ABP的面积的最小值为答案 考向二与圆有关的轨迹问题 典例2 1 已知A B是圆O x2 y2 16上的两点 且 AB 6 若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C 1 1 则圆心M的轨迹方程是 2 2015 广东高考改编 已知过原点的动直线l与圆C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点A B 求圆C1的圆心坐标 求线段AB的中点M的轨迹C的方程 解题导引 1 可利用 MC 等于圆的半径 进而得出点M的轨迹方程 2 将圆C1的方程化为标准方程可得圆C1的圆心坐标 先设线段AB的中点M的坐标 再由圆的性质可得点M满足的方程 进而利用动直线l与圆C1相交可得x的取值范围 即可得线段AB的中点M的轨迹C的方程 规范解答 1 设圆心坐标为M x y 则 x 1 2 y 1 2 即 x 1 2 y 1 2 9 答案 x 1 2 y 1 2 9 2 由x2 y2 6x 5 0得 x 3 2 y2 4 所以圆C1的圆心坐标为 3 0 设M x y 则因为点M为线段AB的中点 所以C1M AB 所以kC1M kAB 1 当x 3时可得整理得又当直线l与x轴重合时 M点坐标为 3 0 代入上式成立 设直线l的方程为y kx 与x2 y2 6x 5 0联立 消去y得 1 k2 x2 6x 5 0 令其判别式 6 2 4 1 k2 5 0 得k2 此时方程为x2 6x 5 0 解上式得x 因此 x 3 所以线段AB的中点M的轨迹方程为 规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 变式训练 1 设A 3 0 B 3 0 为两定点 动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1 2 则点P的轨迹图形所围成的面积是 解析 设P x y 则由题意有所以x2 y2 10 x 9 0 所以 x 5 2 y2 16 所以点P在半径为4的圆上 故其面积为16 答案 16 2 已知圆x2 y2 4上一定点A 2 0 B 1 1 为圆内一点 P Q为圆上的动点 1 求线段AP中点的轨迹方程 2 若 PBQ 90 求线段PQ中点的轨迹方程 解析 1 设AP的中点为M x y 由中点坐标公式可知 P点的坐标为 2x 2 2y 因为P点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段AP中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 2 设PQ的中点为N x y 在Rt PBQ中 PN BN 设O为坐标原点 连接ON 图略 则ON PQ 所以 OP 2 ON 2 PN 2 ON 2 BN 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段PQ中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 加固训练 2016 宜昌模拟 已知动圆P过定点A 3 0 且与圆B x 3 2 y2 64相切 点P的轨迹为曲线C 设Q为曲线C上 不在x轴上 的动点 过点A作OQ的平行线交曲线C于M N两点 1 求曲线C的方程 2 求 MNQ的面积S的最大值 解析 1 因为动圆P过定点A 3 0 且与圆B x 3 2 y2 64相切 所以点P到两定点A 3 0 和B 3 0 距离之和等于定圆B的半径 所以 PA PB 8 所以点P的轨迹是以A B为焦点 长轴为8的椭圆 所以曲线C的方程为 2 因为Q不在x轴上 所以设直线OQ x my 因为过点A作OQ的平行线交曲线C于M N两点 所以直线MN x my 3 设M x1 y1 N x2 y2 Q x3 y3 则 x1 3 y1 x2 3 y2 联立方程组消去x 得 7m2 16 y2 42my 49 0 因为MN OQ 所以S S MNQ SMNO OA y1 y2 当且仅当m2 时取等号 所以所求最大值为 考向三与圆有关的最值问题 考情快递 考题例析 命题方向1 代数式的最值问题 典例3 1 2016 太原模拟 已知点P是直线3x 4y 8 0上的动点 点C是圆x2 y2 2x 2y 1 0的圆心 那么 PC 的最小值是 2 2016 南宁模拟 已知M m n 为圆C x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 求m 2n的最大值 求的最大值和最小值 解题导引 1 PC 的最小值就是点C到直线3x 4y 8 0的距离 2 可设m 2n t 将m 2n t看成直线方程 利用该直线与圆相交或相切即可求出t的最值 可利用的几何意义求解 规范解答 1 点C到直线3x 4y 8 0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x 4y 8 0的距离 而圆心C的坐标是 1 1 因此最小距离为答案 3 2 因为x2 y2 4x 14y 45 0的圆心C 2 7 半径r 设m 2n t 将m 2n t看成直线方程 因为该直线与圆有公共点 所以圆心到直线的距离d 解上式得 所以 所求的最大值为16 记点Q 2 3 因为表示直线MQ的斜率 设直线MQ的方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 则由直线MQ与圆C有公共点 所以可得所以的最大值为2 最小值为2 母题变式 1 若本例 1 设点A为圆上的动点 试求 PA 的最小值 解析 点C到直线3x 4y 8 0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x 4y 8 0的距离 而圆心C的坐标是 1 1 圆心C与点P最小距离为又因为圆x2 y2 2x 2y 1 0的半径为1 所以 PA 的最小值为3 1 2 2 若将本例 1 的条件 P是直线3x 4y 8 0上的动点 改为 P 4 5 试求点P到圆上的点的距离的最大值与最小值 解析 因为点P 4 5 与圆心C 1 1 的距离 PC 5 所以点P与圆上的点的距离的最大值为5 1 6 最小值为5 1 4 命题方向2 与圆有关的范围问题 典例4 2014 全国卷 设点M x0 1 若在圆O x2 y2 1上存在点N 使得 OMN 45 则x0的取值范围是 解题导引 可结合图象 探究满足条件的x0的取值范围 规范解答 建立三角不等式 利用两点间距离公式找到x0的取值范围 如图 过点M作 O的切线 切点为N 连接ON M点的纵坐标为1 MN与 O相切于点N 设 OMN 则 45 即sin 即而ON 1 所以OM 因为M为 x0 1 所以所以x02 1 所以 1 x0 1 所以x0的取值范围为 1 1 答案 1 1 技法感悟 1 与圆有关的最值问题的几何转化法 1 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 2 与圆有关的参数范围问题常见思路 1 直接利用条件 画出几何图形 结合图形用几何法求参数的范围 2 根据位置关系列不等式组 用代数法求参数范围 3 构造关于参数的函数关系 借助函数思想求参数的范围 题组通关 1 2016 温州模拟 已知点P x y 是直线kx y 4 0 k 0 上一动点 PA PB是圆C x2 y2 2y 0的两条切线 A B为切点 若四边形PACB的最小面积是2 则k的值为 A 1B 3C 2D 解析 选C 圆C的方程可化为x2 y 1 2 1 因为四边形PACB的最小面积是2 且此时切线长为2 故圆心 0 1 到直线kx y 4 0的距离为即解得k 2 又k 0 所以k 2 2 2016 广州模拟 如果直线l将圆C x 2 2 y 3 2 13平分 那么坐标原点O到直线l的最大距离为 解析 由题意知 直线l过圆心C 2 3 当直线OC l时 坐标原点到直线l的距离最大 OC 答案 3 2016 衡水模拟 已知圆x2 y2 2x 4y a 0关于直线y 2x b成轴对称 则a b的取值范围是 解析 圆的方程化为 x 1 2 y 2 2 5 a 所以其圆心为 1 2 且5 a 0 即a 5 又圆关于直线y 2x b成轴对称 所以圆心在直线y 2x b上 所以2 2 b 所以b 4 所以a b a 4 1 答案 1 4 2016 长春模拟 若直线y x b与曲线y 有公共点 则b的取值范围是 解析 由y 得 x 2 2 y 3 2 4 1 y 3 所以曲线y 是半圆 如图中实线所示 当直线y x b与圆相切时 所以b 1 由图可知b 1 所以b的取值范围是 1 3 答案 1 b 3