高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件(理).ppt

第二节等差数列及其前n项和 知识梳理 1 等差数列的有关概念 1 定义 文字语言 从 起 每一项与它的前一项的 都等于 一个常数 符号语言 n N d为常数 第2项 差 同 an 1 an d 2 等差中项 数列a A b成等差数列的充要条件是A 其中 叫做a b的等差中项 2 等差数列的有关公式 1 通项公式 an 2 前n项和公式 Sn A a1 n 1 d 3 等差数列的性质 1 通项公式的推广 an am n m N 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n N 则 n m d ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N 是公差为 的等差数列 4 若Sn为等差数列 an 的前n项和 则数列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列 md 特别提醒 等差数列与函数的关系 1 通项公式 当公差d 0时 等差数列的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d是关于n的一次函数 且斜率为公差d 若公差d 0 则为递增数列 若公差d 0 则为递减数列 2 前n项和 当公差d 0时 Sn 是关于n的二次函数且常数项为0 小题快练 链接教材练一练1 必修5P38例1 1 改编 已知等差数列 8 3 2 7 则该数列的第100项为 解析 依题意得 该数列的首项为 8 公差为5 所以a100 8 99 5 487 答案 487 2 必修5P46习题2 3A组T5改编 在100以内的正整数中有 个能被6整除的数 解析 由题意知 能被6整除的数构成一个等差数列 an 则a1 6 d 6 得an 6 n 1 6 6n 由an 6n 100 即n 则在100以内有16个能被6整除的数 答案 16 感悟考题试一试3 2015 全国卷 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则S5 A 5B 7C 9D 11 解析 选A a1 a3 a5 3a3 3 a3 1 S5 5a3 5 4 2015 广东高考 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 解析 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 解得a5 5 所以a2 a8 2a5 10 答案 10 5 2015 安徽高考 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 则数列 an 的前9项和等于 解析 当n 2时 an an 1 所以 an 是首项为1 公差为的等差数列 所以S9 9 1 9 18 27 答案 27 考向一等差数列的性质及基本量的计算 典例1 1 2015 全国卷 已知 an 是公差为1的等差数列 Sn为 an 的前n项和 若S8 4S4 则a10 A B C 10D 12 2 2016 沧州七校联考 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a5 8 S3 6 则S10 S7的值是 A 24B 48C 60D 72 解题导引 1 由S8 4S4求出首项 再由a10 a1 10 1 d求出a10的值 2 列出关于a1 d的方程组求解 规范解答 1 选B 设等差数列的首项为a1 则S8 8a1 8a1 28 S4 4a1 4a1 6 因为S8 4S4 即8a1 28 16a1 24 所以a1 则a10 a1 10 1 d 2 选B 设等差数列 an 的公差为d 由题意可得解得则S10 S7 a8 a9 a10 3a1 24d 48 规律方法 等差数列运算的思想方法 1 方程思想 设出首项a1和公差d 然后将通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 整体思想 当所给条件只有一个时 可将已知和所求结果都用a1 d表示 寻求两者联系 整体代换即可求解 3 利用性质 运用等差数列性质 可以化繁为简 优化解题过程 易错提醒 要注意性质运用的条件 如m n p q 则am an ap aq m n p q N 只有当序号之和相等 项数相同时才成立 变式训练 2016 成都模拟 等差数列 an 的前n项和为Sn 若S15为一确定常数 下列各式也为确定常数的是 A a2 a13B a2a13C a1 a8 a15D a1a8a15 解析 选C 等差数列中 S15 15 a8 15 a1 7d a2 a13 2a1 13d a2a13 a1 d a1 12d a1 a8 a15 3 a1 7d a1a8a15 a1 a1 7d a1 14d 其中只有a1 a8 a15 为定值 加固训练 1 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 A 13B 12C 11D 10 解析 选A 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 Sn 390 即 390 解得n 13 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m A 3B 4C 5D 6 解析 选C 方法一 由已知得 am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 因为数列 an 为等差数列 所以d am 1 am 1 又因为Sm 0 所以m a1 2 0 因为m 0 所以a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 方法二 因为Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 所以am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 所以公差d am 1 am 1 由Sn 得由 得a1 代入 可得m 5 方法三 因为数列 an 为等差数列 且前n项和为Sn 所以数列也为等差数列 所以即解得m 5 经检验为原方程的解 3 2016 保定模拟 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 Sk 35 则k 解析 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由于a1 1 a3 3 又a3 a1 2d 所以d 2 因此an 3 2n 得Sn 2n n2 所以Sk 2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又因为k N 所以k 7 答案 7 考向二等差数列前n项和及性质的应用 典例2 1 2016 重庆模拟 已知等差数列 an 中 S3 8 S6 18 则a7 a8 a9 2 2016 福州模拟 在等差数列 an 中 已知a1 10 前n项和为Sn 若S9 S12 则Sn取得最大值时 n Sn的最大值为 解题导引 1 由a7 a8 a9 S9 S6 利用等差数列的前n项和的性质求解 2 求出数列的公差 再根据通项公式或前n项和公式求解 规范解答 1 因为 an 为等差数列 所以S3 S6 S3 S9 S6成等差数列 所以2 S6 S3 S3 S9 S6 所以a7 a8 a9 S9 S6 2 S6 S3 S3 2 18 8 8 12 答案 12 2 方法一 因为a1 10 S9 S12 所以9 10 12 10 所以d 1 所以an n 11 所以a11 0 即当n 10时 an 0 当n 12时 an 0 所以当n 10或11时 Sn取得最大值 且最大值为S10 S11 10 10 1 55 方法二 同方法一求得d 1 所以Sn 因为n N 所以当n 10或11时 Sn有最大值 且最大值为S10 S11 55 方法三 同方法一求得d 1 又由S9 S12得a10 a11 a12 0 所以3a11 0 即a11 0 所以当n 10或11时 Sn有最大值 且最大值为S10 S11 55 答案 10或1155 母题变式 1 若本例题 2 条件不变 求a1 a4 a7 a10 a268 解析 等差数列 an 中 由a1 10 S9 S12得d 1 所以an n 11 又a1 a4 a7 a10 a268仍构成一个等差数列 且a268为该数列的第90项 因此a1 a4 a7 a10 a268 2 若本例题 2 条件不变 求 a1 a2 a3 an 解析 由a1 10 S9 S12得d 1 所以an n 11 所以当n 11时 a1 a2 a3 an Sn 当n 12时 a1 a2 a3 an Sn 2S11 综上所述 a1 a2 a3 an 规律方法 1 等差数列和的性质在等差数列 an 中 Sn为其前n项和 则 1 S2n n a1 a2n n an an 1 2 S2n 1 2n 1 an 3 当项数为偶数2n时 S偶 S奇 nd 项数为奇数2n 1时 S奇 S偶 a中 S奇 S偶 n n 1 2 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1 函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn an2 bn 通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解 2 邻项变号法 a1 0 d0时 满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm 变式训练 已知等差数列 an 中 Sn是它的前n项和 若S16 0 且S170 S17 17a90 a9 0 且d 0 所以S8最大 加固训练 1 已知等差数列 an 的公差为2 项数是偶数 所有奇数项之和为15 所有偶数项之和为25 则这个数列的项数为 A 10B 20C 30D 40 解析 选A 设项数为2n 则由S偶 S奇 nd得 25 15 2n 解得n 5 故这个数列的项数为10 2 2016 抚州模拟 等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为Sn和Tn 且则 解析 选B 3 在等差数列 an 中 a16 a17 a18 a9 36 其前n项和为Sn 1 求Sn的最小值 并求出Sn取最小值时n的值 2 求Tn a1 a2 an 解析 1 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 因为a16 a17 a18 3a17 36 所以a17 12 所以d 所以an a9 n 9 d 3n 63 an 1 3n 60 令得20 n 21 所以S20 S21 630 所以当n 20或21时 Sn最小且最小值为 630 2 由 1 知前20项小于零 第21项等于0 以后各项均为正数 当n 21时 Tn Sn 当n 21时 Tn Sn 2S21 综上 Tn 考向三等差数列的识别与证明 考情快递 考题例析 命题方向1 等差数列的识别 典例3 2016 广州模拟 已知每项均大于零的数列 an 中 首项a1 1且前n项和Sn满足 n N 且n 2 则a61 解题导引 两边约去再求解 规范解答 由已知可得 2 所以 是以1为首项 2为公差的等差数列 故 2n 1 Sn 2n 1 2 所以a61 S61 S60 1212 1192 480 答案 480 命题方向2 等差数列的证明 典例4 2016 兰州模拟 已知数列 an 中 n 2 n N 数列 bn 满足bn n N 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的通项公式an 解题导引 1 根据等差数列的定义证明 2 先求bn 然后求an 规范解答 1 因为an 2 n 2 n N bn 所以n 2时 bn bn 1 又b1 所以数列 bn 是以为首项 1为公差的等差数列 2 由 1 知 bn 则an 技法感悟 1 等差数列的识别依据 1 若数列 an 是等差数列 则数列 an b 仍为等差数列 公差为 d 2 若 bn an 都是等差数列 则 an bn 仍为等差数列 3 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 数列 an 的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 an 是等差数列 2 证明等差数列的两种基本方法 1 定义法 证明an an 1 n 2 为常数 2 等差中项法 证明2an an 1 an 1 n 2 题组通关 1 2016 唐山模拟 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足an 2 2an 1 an a5 4 a3 则S7 A 7B 12C 14D 21 解析 选C 由an 2 2an 1 an 得an 2 an 2an 1 即数列 an 为等差数列 由a5 4 a3 得a5 a3 4 则S7 2 2016 孝感模拟 已知数列 an 中 a3 2 a7 1 且数列是等差数列 则a11 解析 选B 由得d 所以 3 2016 雅安模拟 有两个等差数列2 6 10 190及2 8 14 200 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 则这个新数列的各项之和为 解析 由已知第一个数列的通项为4n 2 n 48 第二个数列的通项为6m 4 m 34 易得这两个数列的公共项为2 14 26 182 共16项 可得新数列是一个首项为2 公差为12的等差数列 其通项为12n 10 n 16 故各项之和为 1472 答案 1472 4 2016 成都模拟 已知正项数列 an 的前n项和Sn满足 an 1 求证 an 是等差数列 并求an 解析 因为an 0 所以a1 S1 a1 1 又 an 1 可整理为Sn 则n 2时 Sn 1 两式相减 得an 即 可得 an an 1 an an 1 2 0 an an 1 0 故an an 1 2 n 2 所以 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 所以an 2n 1