高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.1 利用导数研究函数的单调性课件(理).ppt

第十一节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性 知识梳理 函数的单调性与导数的关系函数y f x 在某个区间内可导 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 单调递增 单调递减 常数函数 特别提醒 导数与函数单调性的关系 1 f x 0 或f x 0 是f x 在 a b 内单调递增 或递减 的充分不必要条件 2 f x 0 或f x 0 是f x 在 a b 内单调递增 或递减 的必要不充分条件 f x 0不恒成立 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2P24例1改编 如图所示是函数f x 的导函数f x 的图象 则下列判断中正确的是 A 函数f x 在区间 3 0 上是减函数B 函数f x 在区间 3 2 上是减函数C 函数f x 在区间 0 2 上是减函数D 函数f x 在区间 3 2 上是单调函数 解析 选A 当x 3 0 时 f x 0 则f x 在 3 0 上是减函数 其他判断均不正确 2 选修2 2P26练习T1 2 改编 函数的单调递减区间为 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 解析 选B 由题意知函数的定义域为 0 又由y 0 解得0 x 1 所以函数的单调递减区间为 0 1 感悟考题试一试3 2016 内江模拟 函数f x a 0 的单调递增区间是 A 1 B 1 1 C 1 D 1 或 1 解析 选B 函数f x 的定义域为R f x 由于a 0 要使f x 0 只需 1 x 1 x 0 解得x 1 1 4 2016 广州模拟 已知函数y xf x 的图象如图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 则下面四个图象中 y f x 的图象大致是 解析 选C 由条件可知当01时 xf x 0 所以f x 0 函数递增 所以当x 1时 函数取得极小值 当x0 函数递增 当 10 所以f x 0 函数递减 所以当x 1时 函数取得极大值 符合条件的只有C项 5 2016 合肥模拟 若函数f x mx2 lnx 2x在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 解析 f x 函数f x 在其定义域 0 内为增函数的充要条件是 0在 0 内恒成立 即2m 在 0 内恒成立 由于函数 x 故只要2m 1即可 即答案 考向一利用导数判断或证明函数的单调性 典例1 1 2015 湖南高考 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则f x 是 A 奇函数 且在 0 1 上是增函数B 奇函数 且在 0 1 上是减函数C 偶函数 且在 0 1 上是增函数D 偶函数 且在 0 1 上是减函数 2 2015 全国卷 改编 设函数f x emx x2 mx x R 讨论f x 的单调性 解题导引 1 利用函数奇偶性的定义判断奇偶性 利用导数确定函数的单调性 2 先对函数f x 求导 然后分m 0 m 0两种情况进行讨论 规范解答 1 选A 显然 f x 的定义域为 1 1 关于原点对称 又因为f x ln 1 x ln 1 x f x 所以f x 为奇函数 因为f x 在 0 1 上f x 0 所以f x 在 0 1 上是增函数 2 因为f x m emx 1 2x 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 若m0 f x 0 综上所述f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 规律方法 导数法判断 证明 函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 得出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 易错提醒 研究含参数函数的单调性时 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 变式训练 2015 重庆高考 已知函数f x ax3 x2 a R 在x 处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 解析 1 对f x 求导得f x 3ax2 2x 因为f x 在处取得极值 所以解得经检验满足题意 2 由 1 知g x 所以g x 令g x 0 解得x 0 x 1或x 4 当x 4时 g x 0 故g x 为减函数 当 40 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知 g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 加固训练 2015 四川高考改编题 已知函数f x 2xlnx x2 2ax a2 其中a 0 设g x 是f x 的导函数 讨论g x 的单调性 解析 由已知 函数的定义域为 0 所以g x f x 2 x 1 lnx a 所以g x 当x 0 1 时 g x 0 g x 单调递增 考向二利用导数求函数的单调区间 典例2 1 已知函数f x ax lnx 则当a 0时 f x 的单调递增区间是 单调递减区间是 2 已知函数f x 其中a R 且曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线求函数f x 的单调区间 解题导引 1 求f x 的单调区间只需令f x 0或f x 0求出x的范围 2 先利用曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线求出a的值 然后再求出单调区间 规范解答 1 由已知得f x 的定义域为 0 因为f x 所以当x 时f x 0 当00 所以f x 的单调递增区间为 单调递减区间为答案 2 对f x 求导得f x 由f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线知f 1 2 解得所以f x 则f x 令f x 0 解得x 1或x 5 因x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 所以f x 的单调递增区间为 5 单调递减区间为 0 5 易错警示 解答典例2 2 会出现以下错误 令f x 0 解得x 1或x 5时 忽视函数的定义域而未舍去x 1 规律方法 求函数的单调区间的 两种 方法方法一 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 方法二 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 变式训练 2016 福州模拟 已知函数f x ln ex 1 ax a 0 1 若函数y f x 的导函数是奇函数 求a的值 2 求函数y f x 的单调区间 解析 1 函数f x 的定义域为R 由已知得f x 因为函数y f x 的导函数是奇函数 所以f x f x 即解得 2 由 1 f x 当a 1时 f x 0恒成立 所以当a 1 时 函数y f x 在R上单调递减 当0 a 1时 由f x 0得 1 a ex 1 1 即ex 解得 当0 a 1时 由f x 0得 1 a ex 1 1 即ex 解得所以当a 0 1 时 函数y f x 在上单调递增 在上单调递减 加固训练 1 2016 广州模拟 已知函数f x x2 2x ex x R e为自然对数的底数 则函数f x 的单调递增区间为 解析 因为f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 因为ex 0 所以 x2 2 0 解得所以函数f x 的单调递增区间是答案 2 已知函数f x 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 1 上单调递增 求a的取值范围 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x 当 1 4a 0 即a 时 x2 x a 0恒成立 即f x 0恒成立 所以函数f x 在 0 上单调递增 当 1 4a 0 即时 令f x 0 得x2 x a 0 解得 若 a 0 则因为x 0 所以f x 0 所以函数f x 在 0 上单调递增 若a 0 则x 时 f x 0 x 时 f x 0 所以函数f x 在区间上单调递减 在区间上单调递增 综上所述 当a 0时 函数f x 的单调递增区间为 0 当a 0时 函数f x 的单调递减区间为单调递增区间为 2 由题意知 f x 0在 1 上恒成立 即x2 x a 0在 1 上恒成立 令g x 则g x 2 a 从而2 a 0 所以a 2 当a 2时 f x 0在 1 上恒成立 因此实数a的取值范围是 2 3 2015 江苏高考改编 已知函数f x x3 ax2 b a b R 求函数f x 的单调区间 解析 f x 3x2 2ax 令f x 0 得x 0或 当a0 得x 0或令f x 0 得所以f x 的单调递增区间是 0 和单调递减区间是 当a 0时 f x 0恒成立 所以f x 在R上单调递增 当a 0时 令f x 0 得或x 0 令f x 0 得所以f x 的单调递增区间是和 0 单调递减区间是 综上所述 当a0时 f x 的单调递增区间是和 0 单调递减区间是 考向三利用导数解决函数的单调性的应用问题 考情快递 考题例析 命题方向1 已知函数单调性求参数的取值范围 典例3 2014 全国卷 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 解题导引 利用函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增等价于f x 0在 1 恒成立求解 规范解答 选D 因为f x 在 1 上单调递增 所以f x 0在 1 上恒成立 因为f x kx lnx 所以f x 即因为x 1 所以所以k 1 所以k 1 母题变式 1 若本例条件改为 函数f x kx lnx在区间 1 上单调递减 求k的取值范围 解析 因为函数f x kx lnx 所以f x 函数在区间 1 上单调递减 则f x 0在 1 上恒成立 即 0在区间 1 上恒成立 故k 在区间 1 上恒成立 因为在区间 1 上故k 0 2 试求本例函数f x kx lnx的单调区间 解析 函数f x kx lnx的定义域为 0 因为f x 当k 0时 f x 0恒成立 故函数在区间 0 上为减函数 当k 0时 令f x 0 解得令f x 0时 函数的单调递增区间为单调递减区间为 命题方向2 比较大小或解不等式 典例4 1 2014 湖南高考 若0 x1 x2 1 则 2 2015 全国卷 设函数f x 是奇函数f x x R 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0成立的x的取值范围是 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 0 D 0 1 1 解题导引 1 根据不等式的特点构造函数 再利用导数判断其单调性后再比较大小 2 构造函数g x 然后对函数g x 求导 利用单调性确定x的取值范围 规范解答 1 选C 2 选A 记函数g x 则g x 因为当x 0时 xf x f x 0时 g x 0 所以g x 在 0 上单调递减 又因为函数f x x R 是奇函数 故函数g x 是偶函数 所以g x 在 0 上单调递增 且g 1 g 1 0 当00 则f x 0 当x0 综上所述 使得f x 0成立的x的取值范围是 1 0 1 技法感悟 1 利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 1 由函数在区间 a b 上单调递增 减 可知f x 0 f x 0 在区间 a b 上恒成立列出不等式 2 利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题 3 对等号单独检验 检验参数的取值能否使f x 在整个区间恒等于0 若f x 恒等于0 则参数的这个值应舍去 若只有在个别点处有f x 0 则参数可取这个值 2 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件 构造辅助函数 把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题 再由单调性比较大小或解不等式 易错提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 题组通关 1 2016 十堰模拟 函数f x 在区间 1 2 上不单调 则实数a的取值范围是 A 3 B 3 1 C 1 D 3 1 解析 选B 因为f x 所以f x x2 2x a x 1 2 a 1 如果函数f x 在区间 1 2 上单调 那么a 1 0或解得a 1或a 3 于是满足条件的a 3 1 2 2015 福建高考 若定义在R上的函数f x 满足f 0 1 其导函数f x 满足f x k 1 则下列结论中一定错误的是 解析 选C 因为f x k 1 构造函数g x f x kx 所以g x 在R上单调递增 又所以即得到所以C选项一定错误 A B D都有可能正确 3 2016 郴州模拟 定义在R上的函数f x 满足 f x f x 1 f 0 4 则不等式exf x ex 3 其中e为自然数对数的底数 的解集为 A 0 B 0 3 C 0 0 D 3 解析 选A 设g x exf x ex x R 则g x exf x exf x ex ex f x f x 1 因为f x f x 1 所以f x f x 1 0 所以g x 0 所以g x exf x ex在定义域上单调递增 因为exf x ex 3 所以g x 3 又因为g 0 e0f 0 e0 4 1 3 所以g x g 0 所以x 0 4 2016 秦皇岛模拟 已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递减 则a的取值范围为 解析 h x x 0 所以h x 因为h x 在 1 4 上单调递减 所以当x 1 4 时 h x 0恒成立 即a 恒成立 令G x 则a G x max 而G x 因为x 1 4 所以所以G x max 此时x 4 所以a 答案