高考数学一轮复习 第3讲 导数的综合应用课件 理 新人教B版.ppt

考点突破 夯基释疑 考点一 考点三 考点二 例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 第3讲导数的综合应用 概要 课堂小结 夯基释疑 考点突破 解 1 因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意得200 rh 160 r2 12000 考点一利用导数解决生活中的优化问题 例1 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 考点突破 令V r 0 解得r 5或 5 因r 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 V r 0 故V r 在 0 5 上为增函数 考点一利用导数解决生活中的优化问题 例1 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 由此可知 V r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 考点突破 规律方法求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数的最值的方法求解 注意结果应与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在开区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 考点一利用导数解决生活中的优化问题 考点突破 解 1 因为x 5时 y 11 考点一利用导数解决生活中的优化问题 所以商场每日销售该商品所获得的利润 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 考点突破 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 考点一利用导数解决生活中的优化问题 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 接上一页 f x 30 x 4 x 6 考点突破 考点一利用导数解决生活中的优化问题 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 考点突破 考点二利用导数证明不等式 1 解函数f x 的定义域为 0 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 设函数g x xlnx 则g x 1 lnx 考点突破 所以当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 故h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 综上 当x 0时 g x h x 即f x 1 考点二利用导数证明不等式 考点突破 规律方法利用导数证明不等式常构造函数 x 将不等式转化为 x 0 或 0 的形式 然后研究 x 的单调性 最值 判定 x 与0的关系 从而证明不等式 这是用导数证明不等式的基本思路 考点二利用导数证明不等式 考点突破 若a 0 f x 0 f x 在 0 上单调递增 2 证明由 1 知 若a 0 f x 在 0 上单调递增 又f 1 0 故f x 0不恒成立 考点二利用导数证明不等式 考点突破 f x f 1 0 不合题意 若a 2 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 f x f 1 0符合题意 故a 2 且lnx x 1 当且仅当x 1时取 考点二利用导数证明不等式 考点突破 令f x 0 得x e1 a 当x 0 e1 a 时 f x 0 f x 是增函数 当x e1 a 时 f x 0 f x 是减函数 所以函数f x 的单调递增区间为 0 e1 a 单调递减区间为 e1 a 极大值为f x 极大值 f e1 a ea 1 无极小值 考点三利用导数求参数的取值范围 解 1 函数f x 的定义域为 0 考点突破 令F x 0 得x e2 a 令F x 0 得xe2 a 故函数F x 在区间 0 e2 a 上是增函数 在区间 e2 a 上是减函数 当e2 a0时 函数F x 在区间 0 e2 a 上是增函数 在区间 e2 a e2 上是减函数 F x max F e2 a ea 2 考点三利用导数求参数的取值范围 考点突破 由图象 易知当00 此时函数f x 的图象与函数g x 的图象在区间 0 e2 上有1个公共点 当e2 a e2 即a 0时 F x 在区间 0 e2 上是增函数 考点三利用导数求参数的取值范围 考点突破 函数f x 的图象与函数g x 的图象在区间 0 e2 上只有1个公共点 考点三利用导数求参数的取值范围 函数f x 的图象与函数g x 的图象在区间 0 e2 上没有公共点 综上 满足条件的实数a的取值范围是 1 考点突破 规律方法函数零点或函数图象交点问题的求解 一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 考点三利用导数求参数的取值范围 考点突破 解由f x x2 xsinx cosx 得f x 2x sinx x sinx sinx x 2 cosx 1 因为曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 所以f a a 2 cosa 0 b f a 解得a 0 b f 0 1 2 设g x f x b x2 xsinx cosx b 令g x f x 0 x 2 cosx 0 得x 0 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 训练3 2013 北京卷 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 考点三利用导数求参数的取值范围 考点突破 所以函数g x 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增 且g x 的最小值为g 0 1 b 当1 b 0时 即b 1时 g x 0至多有一个实根 曲线y f x 与y b最多有一个交点 不合题意 当1 b1时 有g 0 1 b4b 2b 1 b 0 y g x 在 0 2b 内存在零点 又y g x 在R上是偶函数 且g x 在 0 上单调递增 训练3 2013 北京卷 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 考点三利用导数求参数的取值范围 考点突破 y g x 在 0 上有唯一零点 在 0 也有唯一零点 故当b 1时 y g x 在R上有两个零点 则曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 综上可知 如果曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 那么b的取值范围是 1 训练3 2013 北京卷 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 考点三利用导数求参数的取值范围 1 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 2 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性 或者函数的最值证明函数h x 0 其中一个重要技巧就是找到函数h x 在什么地方可以等于零 这往往就是解决问题的一个突破口 思想方法 课堂小结 思想方法 课堂小结 4 对于研究方程根的个数的相关问题 利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决 这类问题求解的通法是 1 构造函数 这是解决此类题的关键点和难点 并求其定义域 2 求导数 得单调区间和极值点 3 画出函数草图 4 数形结合 挖掘隐含条件 确定函数图象与x轴的交点情况进而求解 3 利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型 体现了导数的工具性作用 将函数 不等式紧密结合起来 考查了学生综合解决问题的能力 实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约 不可盲目地确定函数的定义域 在解题时要注意单位的一致性 把实际问题转化成数学问题后 要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释 易错防范 课堂小结