高考数学一轮复习 专题探究课 导数问题中的热点题型课件 理 新人教B版.ppt

热点一利用导数解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质 因此利用导数讨论函数的单调性时 要先研究函数的定义域 再利用导数f x 在定义域内的符号来判断函数的单调性 这类问题主要有两种考查方式 1 判断函数f x 的单调性或求单调区间 2 利用函数的单调性或单调区间 求参数的范围 热点突破 热点一利用导数解决函数的单调性问题 解 1 因为当a 1时 f x x2e x f x 2xe x x2e x 2x x2 e x 所以f 1 e f 1 3e 从而y f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为y e 3e x 1 即y 3ex 2e 5分 2 f x 2xe ax ax2e ax 2x ax2 e ax 当a 0时 若x 0 则f x 0 若x 0 则f x 0 所以当a 0时 函数f x 在区间 0 上为减函数 在区间 0 上为增函数 7分 热点突破 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 综上所述 当a 0时 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 求含参函数f x 的单调区间的一般步骤 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 训练1 已知函数f x exlnx aex a 0 1 若函数f x 的图象在点 1 f 1 处的切线与直线x ey 1 0垂直 求实数a的值 2 若函数f x 在区间 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 f 1 1 a e 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 若f x 在 0 上为单调递减函数 则f x 0 在 0 上恒成立 训练1 已知函数f x exlnx aex a 0 2 若函数f x 在区间 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 由g x 0得x 1 故g x 在 0 1 上为单调递减函数 在 1 上为单调递增函数 此时g x 有最小值为g 1 1 但g x 无最大值 故f x 不可能是单调递减函数 若f x 在 0 上为单调递增函数 则f x 0在 0 上恒成立 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 由上述推理可知此时a 1 故a的取值范围是 1 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一 对于此类问题的求解 首先 要理解函数极值的概念 需要清楚导数为零的点不一定是极值点 只有在该点两侧导数的符号相反 即函数在该点两侧的单调性相反时 该点才是函数的极值点 其次 要区分极值与最值 函数的极值是一个局部概念 而最值是某个区间的整体性概念 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 解 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意对于任意x 0 1 有f x 0 当a 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即0 a 1 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 且只在x 1时f x 0 f x 符合条件 当a 0时 对于任意x 0 1 f x xex 0 且只在x 0时 f x 0 f x 符合条件 当a 0时 因f 0 a 0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 2 因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1处取得最小值g 1 0 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 g x 在 0 1 上单调递增 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 在x 1处取得最大值g 1 1 a e 在x 0或x 1处取得最小值 而g 0 1 a g 1 1 a e 由g 0 g 1 1 a 1 a e 1 e a 1 e 0 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 热点突破 解函数f x 的定义域为 0 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 1 当a 2时 f x x 2lnx 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值问题 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 当x a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 热点突破 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x D恒成立 应求f x 的最小值 若存在x D 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 在具体问题中究竟是求最大值还是最小值 可以先联想 恒成立 是求最大值还是最小值 这样也就可以解决相应的 存在性 问题是求最大值还是最小值 特别需要关注等号是否成立问题 以免细节出错 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 例3 2014 陕西卷节选 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n N 求gn x 的表达式 不需证明 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 热点突破 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 例3 2014 陕西卷节选 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n N 求gn x 的表达式 不需证明 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 热点突破 当a 1时 x 0 仅当x 0 a 1时等号成立 x 在 0 上单调递增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 例3 2014 陕西卷节选 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n N 求gn x 的表达式 不需证明 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 热点突破 当a 1时 对x 0 a 1 有 x 0 x 在 0 a 1 上单调递减 a 1 1时 存在x 0 使 x 0 综上可知 a的取值范围是 1 求解不等式恒成立时参数的取值范围问题 一般常用分离参数的方法 但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值 或者求解其函数最值繁琐时 可采用直接构造函数的方法求解 热点突破 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 2 f x 的定义域为 0 热点突破 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 由题设知f 1 0 解得b 1 故当x 1 时 f x 0 f x 在 1 上单调递增 热点突破 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 热点突破 热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 热点突破 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 利用导数研究方程的解或图象交点问题 是高考题的典型题型 该类问题一般可通过导数研究函数的单调性和极值 描绘出草图 然后分析观察 列出相应不等式 或方程 求解 该类问题充分体现了数形结合这一重要思想方法 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 由f x 0 得x e 当x 0 e f x 0 f x 在 0 e 上单调递减 当x e f x 0 f x 在 e 上单调递增 热点突破 f x 的极小值为2 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 则 x x2 1 x 1 x 1 当x 0 1 时 x 0 x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 x 0 x 在 1 上单调递减 x 1是 x 的唯一极值点 且是极大值点 因此x 1也是 x 的最大值点 热点突破 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 又 0 0 结合y x 的图象 如图 可知 热点突破 用导数研究函数的零点 一方面用导数判断函数的单调性 借助零点存在性定理判断 另一方面 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题 利用数形结合来解决 热点突破 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 热点突破 1 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 2 证明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 1 0 g 0 4 所以g x 0在 0 上有唯一实根 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 训练4 2014 新课标全国 卷 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 热点突破 当x 0时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 上单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 上没有实根 综上 g x 0在R上有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 热点四利用导数研究方程解或图象交点问题 训练4 2014 新课标全国 卷 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点