高考数学一轮复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法课件(理)选修4-5.ppt

第二节证明不等式的基本方法 知识梳理 1 比较法比较法是证明不等式最基本的方法 可分为作差比较法和作商比较法两种 a b 0 a b 0 a b 0 具有多项式 2 综合法一般地 从 出发 利用 公理 性质等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫 或由因导果法 已知条件 定义 定理 推理 论证 顺推证法 3 分析法证明命题时 从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法 要证的结论 充分条件 已知条件 一个明显成立 的事实 特别提醒 1 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数 或式子 与0的大小关系 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论 再说明所要证明的数学问题成立 考向一比较法证明不等式 典例1 1 已知a b都是正实数 且a b 2 求证 1 2 当a b 0 时 求证 aabb ab 解题导引 1 利用作差比较法证明 注意条件a b 2的应用 2 利用作商比较法证明 规范解答 1 因为a b 2 所以因为a b都是正实数 所以ab 所以 0 即 1 2 当a b时 当a b 0时 当b a 0时 所以 规律方法 比较法证明不等式的方法与步骤1 作差比较法 1 作差比较法证明不等式的一般步骤 作差 将不等式左右两边的式子看作一个整体作差 变形 将差式进行变形 化简为一个常数 或通分 因式分解变形为若干个因式的积 或配方变形为一个或几个平方和等 判号 根据已知条件与上述变形结果 判断不等式两边差的正负号 结论 肯定不等式成立的结论 2 作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式 分式或对数式时 一般使用作差比较法 2 作商比较法 1 作商比较法证明不等式的一般步骤 作商 将不等式左右两边的式子作商 变形 将商式的分子放 缩 分母不变 或分子不变 分母放 缩 或分子放 缩 分母缩 放 从而化简商式为容易和1比较大小的形式 判断 判断商与1的大小关系 就是判断商大于1或小于1或等于1 结论 2 作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时 一般使用作商比较法 易错提醒 作商比较时易忽视分母的符号而得出错误的结论 变式训练 已知a 0 b 0 求证 证明 又 0 所以故 加固训练 1 求证 a2 b2 ab a b 1 证明 因为 a2 b2 ab a b 1 a2 b2 ab a b 1 2a2 2b2 2ab 2a 2b 2 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 所以a2 b2 ab a b 1 2 已知a b均为正数 且a b 1 证明 ax by 2 ax2 by2 证明 ax by 2 ax2 by2 a a 1 x2 b b 1 y2 2abxy 因为a b 1 所以 a 1 b b 1 a 故 ax by 2 ax2 by2 a a 1 x2 b b 1 y2 2abxy ab x2 y2 2xy ab x y 2 0 当且仅当a b时等号成立 所以 ax by 2 ax2 by2 考向二综合法证明不等式 典例2 2015 全国卷 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 解题导引 1 由a b c d及ab cd 可证明 开方即得 2 本小题可借助第一问的结论来证明 但要分必要性与充分性来证明 规范解答 1 因为由题设a b c d ab cd得因此 2 i 若 a b c d 则 a b 2 c d 2 即 a b 2 4ab c d 2 4cd 因为a b c d a b c d均为正数 所以ab cd 由 1 得 ii 若 则即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab c d 2 4cd c d 2 因此 a b c d 综上 是 a b c d 的充要条件 母题变式 1 题中条件改为 a b c d 1 证明 ab cd 证明 因为a b c d均为正数 且a b c d 1 所以0 ab 0 cd 所以ab cd 2 题中条件改为 a b c d 1 证明 证明 4 2 2 2 2 2 2 16 等号当且仅当a b c d 时成立 规律方法 1 综合法证明不等式的方法 1 综合法证明不等式 要着力分析已知与求证之间 不等式的左右两端之间的差异与联系 合理进行转换 恰当选择已知不等式 这是证明的关键 2 在用综合法证明不等式时 不等式的性质和基本不等式是最常用的 在运用这些性质时 要注意性质成立的前提条件 2 综合法证明时常用的不等式 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的变形形式有a2 b2 2 ab a2 b2 2ab a b 2 4ab a2 b2 a b 2 4 它的变形形式有a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 5 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 变式训练 2014 辽宁高考 设函数f x 2 x 1 x 1 g x 16x2 8x 1 记f x 1的解集为M g x 4的解集为N 1 求M 2 当x M N时 证明 x2f x x f x 2 解析 1 f x 2 x 1 x 1 当x 1时 由f x 1得x 故1 x 当x 1时 由f x 1得x 0 故0 x 1 综上可知 f x 1的解集为M 2 由g x 16x2 8x 1 4得解得因此N 故M N 当x M N时 f x 1 x 于是x2f x x f x 2 xf x x f x xf x x 1 x 加固训练 1 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ca 2 1 解题导引 1 将a b c 1两边平方 化简整理 借助不等式的性质 即得结论 2 证 1 即证 a b c 可分别证然后相加即得 证明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 当且仅当 a b c 时等号成立 2 因为当且仅当 a2 b2 c2 时等号成立 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 2 设a b c均为正数 abc 1 求证 证明 由a b c为正数 根据基本不等式 得将此三式相加 得 即由abc 1 则有 1 所以 考向三分析法证明不等式 典例3 已知a b c 且a b c 0 求证 解题导引 利用分析法 去掉根号 结合条件a b c 0证明 a b a c 0即可 规范解答 要证只需证b2 ac0 只需证 a b 2a b 0 只需证 a b a c 0 因为a b c 所以a b 0 a c 0 所以 a b a c 0显然成立 故原不等式成立 规律方法 1 用分析法证 若A则B 这个命题的模式为了证明命题B为真 只需证明命题B1为真 从而有 只需证明命题B2为真 从而有 只需证明命题A为真 而已知A为真 故B必为真 2 分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法 且和重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 3 综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 变式训练 设x 1 y 1 证明 证明 由于x 1 y 1 要证只需证xy x y 1 y x xy 2 因为 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 由条件x 1 y 1可知x 1 0 y 1 0 xy 1 0 所以 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 加固训练 已知 ABC的三边长分别是a b c且m为正数 求证 证明 要证只需证a b m c m b a m c m c a m b m 0 即证abc abm acm am2 abc abm bcm bm2 abc acm bcm cm2 0 即证abc 2abm a b c m2 0 由于a b c分别是 ABC的三边长 故有a b c 因为m 0 所以 a b c m2 0 所以abc 2abm a b c m2 0是成立的 因此成立