高考数学一轮复习 2-9 函数的模型及其应用课件 理 新人教A版.ppt

第九节函数的模型及其应用 最新考纲展示1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 一 几类常见函数模型 二 三种增长函数的图象与性质 1 函数应用问题解题的基本思路是先把实际问题抽象为一个函数问题 再利用函数 方程 不等式等相关知识解决问题 解题的基本步骤是 审题 建模 求解 回验四步 2 解应用题应重视 检验 即把数学结果转化为与实际问题一致的结论 不一定要写 答 字 但必须对实际问题作出说明 3 利用函数求最值是函数应用题中的常见题型 其方法是 先建立目标函数 同时指出函数的定义域 然后根据函数式的结构特点 采用适当的方法求出最值或取得最值的条件 4 三种模型的增长差异 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个x0 使得当x x0时 有logax xn ax 1 一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 燃烧时剩下的高度h cm 与燃烧时间t h 的函数关系用图象表示为图中的 解析 由题意知h 20 5t 故选B 答案 B 答案 B 答案 A 4 2013年高考陕西卷 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为 m 答案 20 例1 1 2013年高考湖北卷 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间后 为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 利用图象刻画实际问题 自主探究 2 下面的四个容器高度都相同 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 注满为止 用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系 其中不正确的有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 1 小明匀速运动时 所得图象为一条直线段 且距离学校越来越近 故排除A 因交通堵塞停留了一段时间 与学校的距离不变 故排除D 后来为了赶时间加快速度行驶 故排除B 故选C 2 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来 图 应该是匀速的 故对应的图象不正确 中的变化率应该是越来越慢的 图象正确 中的变化规律是先快再慢后快 图象正确 中的变化规律是先慢再快后慢 图象正确 故只有 是错误的 故选A 答案 1 C 2 A 规律方法抓住两个变量间的变化规律 如增长的快慢 最大 最小等 与函数的性质 如单调性 最值等 图象 增加 减少的缓急等 相吻合即可 例2 1 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为L1 5 06x 0 15x2和L2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售15辆车 则能获得的最大利润为 万元 2 2014年晋江模拟 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元 预测六月份销售额为500万元 七月份销售额比六月份递增x 八月份销售额比七月份递增x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达7000万元 则x的最小值是 二次函数模型 师生共研 答案 1 45 6 2 20 规律方法 1 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错 2 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 例3 2014年杭州模拟 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 小时 分段函数 师生共研 规律方法 1 理解题意 由待定系数法 准确求出v x 是求解本例的关键 要注意分段函数各段变量的取值范围 特别是端点值 2 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车票价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 2 国庆期间 某旅行社组团去风景区旅游 若每团人数在30人或30人以下 飞机票每张收费900元 若每团人数多于30人 则给予优惠 每多1人 机票每张减少10元 直到达到规定人数75人为止 每团乘飞机 旅行社需付给航空公司包机费15000元 1 写出飞机票的价格关于人数的函数 2 每团人数为多少时 旅行社可获得最大利润 例4已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多长时间 物体的温度为5摄氏度 2 若物体的温度总不低于2摄氏度 求m的取值范围 指数函数型 师生共研 规律方法本题给出了函数模型 问题就是根据函数模型求解在指定状态下的自变量值或者取值范围 解这类问题的关键是把问题的指定状态转化为方程或者不等式 3 一个人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到0 3mg mL 在停止喝酒后 血液中的酒精含量以每小时25 的速度减少 为了保障交通安全 某地根据 道路交通安全法 规定 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0 09mg mL 那么 此人至少经过 小时才能开车 精确到1小时 解析 设经过x小时才能开车 由题意得0 3 1 25 x 0 09 0 75x 0 3 x log0 750 3 5 答案 5