高考数学 考前三个月复习冲刺 专题6 第28练“空间角”攻略课件 理.ppt

专题6立体几何与空间向量 第28练 空间角 攻略 题型分析 高考展望 空间角包括异面直线所成的角 线面角以及二面角 在高考中频繁出现 也是高考立体几何题目中的难点所在 掌握好本节内容 首先要理解这些角的概念 其次要弄清这些角的范围 最后再求解这些角 在未来的高考中 空间角将是高考考查的重点 借助向量求空间角 将是解决这类题目的主要方法 常考题型精析 高考题型精练 题型一异面直线所成的角 题型二直线与平面所成的角 题型三二面角 常考题型精析 题型一异面直线所成的角 例1在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线BA1与AC所成的角 解方法一 因为AB BC BB1 AB BB1 BC 所以异面直线BA1与AC所成的角为60 方法二连接A1C1 BC1 则由条件可知A1C1 AC 从而BA1与AC所成的角即为BA1与A1C1所成的角 由于该几何体为边长为a的正方体 于是 A1BC1为正三角形 BA1C1 60 从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60 方法三由于该几何体为正方体 所以DA DC DD1两两垂直且长度均为a 于是以D为坐标原点分别为x y z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 于是有A a 0 0 C 0 a 0 A1 a 0 a B a a 0 所以所求异面直线BA1与AC所成角为60 2 如果题目条件易建立空间坐标系 可以借助空间向量来求异面直线所成角 设异面直线l1 l2的方向向量分别为m1 m2 则l1与l2所成的角 满足cos cos m1 m2 变式训练1 2014 课标全国 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BM与AN所成角的余弦值为 解析由于 BCA 90 三棱柱为直三棱柱 且BC CA CC1 可将三棱柱补成正方体 建立如图所示空间直角坐标系 设正方体棱长为2 则可得A 0 0 0 B 2 2 0 M 1 1 2 N 0 1 2 答案C 题型二直线与平面所成的角 例2 2015 课标全国 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 点E F分别在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 过点E F的平面 与此长方体的面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 解交线围成的正方形EHGF如图 2 求直线AF与平面 所成角的正弦值 解作EM AB 垂足为M 则AM A1E 4 EM AA1 8 因为EHGF为正方形 所以EH EF BC 10 设n x y z 是平面EHGF的法向量 所以可取n 0 4 3 点评 1 求直线l与平面 所成的角 先确定l在 上的射影 在l上取点作 的垂线 或观察原图中是否存在这样的线 或是否存在过l上一点与 垂直的面 2 找到线面角 作出说明 并通过解三角形求之 3 利用向量求线面角 设直线l的方向向量和平面 的法向量分别为m n 则直线l与平面 所成角 满足sin cos m n 变式训练2如图 已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为H PH是四棱锥的高 E为AD的中点 1 证明 PE BC 证明以H为原点 HA HB HP所在直线分别为x y z轴 线段HA的长为单位长度 建立空间直角坐标系 如图 则A 1 0 0 B 0 1 0 设C m 0 0 P 0 0 n m0 2 若 APB ADB 60 求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 设n x y z 为平面PEH的法向量 题型三二面角 例3 2015 山东 如图 在三棱台DEFABC中 AB 2DE G H分别为AC BC的中点 1 求证 BD 平面FGH 证明如图 连接DG CD 设CD GF O 连接OH 在三棱台DEF ABC中 AB 2DE G为AC的中点 可得DF GC DF GC 所以四边形DFCG为平行四边形 则O为CD的中点 又H为BC的中点 所以OH BD 又OH 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 2 若CF 平面ABC AB BC CF DE BAC 45 求平面FGH与平面ACFD所成的角 锐角 的大小 解方法一 设AB 2 则CF DE 1 在三棱台DEF ABC中 G为AC的中点 又FC 平面ABC 所以DG 平面ABC 在 ABC中 由AB BC BAC 45 G是AC中点 所以AB BC GB GC 因此GB GC GD两两垂直 以G为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 设n x y z 是平面FGH的一个法向量 所以平面FGH与平面ACFD所成角 锐角 的大小为60 方法二作HM AC于点M 作MN GF于点N 连接NH 设AB 2 由FC 平面ABC 得HM FC 又FC AC C 所以HM 平面ACFD 因此GF NH 所以 MNH即为所求的角 由HM 平面ACFD MN 平面ACFD 所以 MNH 60 所以平面FGH与平面ACFD所成角 锐角 的大小为60 点评 1 二面角的范围是 0 解题时要注意图形的位置和题目的要求 作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法 在棱上任取一点 过这点在两个平面内分别引棱的垂线 这两条射线所成的角 就是二面角的平面角 面上一点三垂线法 自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线 再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 即斜足 斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角 即为二面角的平面角 空间一点垂面法 自空间一点作与棱垂直的平面 截二面角得两条射线 这两条射线所成的角就是二面角的平面角 2 用向量法求二面角的大小 如图 1 AB CD是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图 2 3 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 变式训练3 2015 安徽 如图所示 在多面体A1B1D1 ABCD 四边形AA1B1B ADD1A1 ABCD均为正方形 E为B1D1的中点 过A1 D E的平面交CD1于F 1 证明 EF B1C 证明由正方形的性质可知A1B1 AB DC 且A1B1 AB DC 所以四边形A1B1CD为平行四边形 从而B1C A1D 又A1D 面A1DE B1C 面A1DE 于是B1C 面A1DE 又B1C 面B1CD1 面A1DE 面B1CD1 EF 所以EF B1C 2 求二面角E A1D B1的余弦值 解因为四边形AA1B1B ADD1A1 ABCD均为正方形 所以AA1 AB AA1 AD AB AD且AA1 AB AD 以A为原点 分别以为x轴 y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系 可得点的坐标A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 D1 0 1 1 而E点为B1D1的中点 设面A1DE的法向量n1 r1 s1 t1 1 1 1 为其一组解 所以可取n1 1 1 1 设面A1B1CD的法向量n2 r2 s2 t2 高考题型精练 1 2015 浙江 如图 已知 ABC D是AB的中点 沿直线CD将 ACD翻折成 A CD 所成二面角A CDB的平面角为 则 A A DB B A DB C A CB D A CB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 解析极限思想 若 则 A CB 排除D 若 0 如图 则 A DB A CB都可以大于0 排除A C 故选B 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为BB1的中点 则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设棱长为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 设平面A1ED的一个法向量为n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 n1 1 2 2 平面ABCD的一个法向量为n2 0 0 1 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 3 2014 大纲全国 已知二面角 l 为60 AB AB l A为垂足 CD C l ACD 135 则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 解析方法一如图 1 平移CD至AF 则 BAF为所求 作二面角 l 的平面角 BAE 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 又 EAF 45 方法二如图 2 设AB 2a 过点B作BB1 垂足为B1 作AD1 CD 则 BAD1即为所求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 过点B1作B1D1 AD1于D1 连接AB1 BD1 则易知 BAB1为二面角的平面角 即 BAB1 60 在Rt BB1D1中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 在 BAD1中 由余弦定理 得 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 4 2014 四川 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点O为线段BD的中点 设点P在线段CC1上 直线OP与平面A1BD所成的角为 则sin 的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 解析根据题意可知平面A1BD 平面A1ACC1且两平面的交线是A1O 所以过点P作交线A1O的垂线PE 则PE 平面A1BD 所以 A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角 设正方体的边长为2 则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 根据选项可知B正确 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 5 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角是 解析以BC为x轴 BA为y轴 BB1为z轴 建立空间直角坐标系 设AB BC AA1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 则C1 2 0 2 E 0 1 0 F 0 0 1 EF和BC1所成的角为60 答案60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 6 正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且SO OD 则直线BC与平面PAC所成的角是 解析如图所示 以O为原点建立空间直角坐标系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 设OD SO OA OB OC a 设平面PAC的法向量为n 可求得n 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 直线BC与平面PAC所成的角为90 60 30 答案30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 7 2014 四川 三棱锥A BCD及其侧 左 视图 俯视图如图所示 设M N分别为线段AD AB的中点 P为线段BC上的点 且MN NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 证明 P是线段BC的中点 证明如图 1 取BD的中点O 连接AO CO 图 1 由侧视图及俯视图知 ABD BCD均为正三角形 因此AO BD OC BD 因为AO OC 平面AOC 且AO OC O 所以BD 平面AOC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 又因为AC 平面AOC 所以BD AC 取BO的中点H 连接NH PH 又M N分别为线段AD AB的中点 所以NH AO MN BD 因为AO BD 所以NH BD 因为MN NP 所以BD NP 因为NH NP 平面NHP 且NH NP N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 所以BD 平面NHP 又因为HP 平面NHP 所以BD HP 又OC BD HP 平面BCD OC 平面BCD 所以HP OC 因为H为BO中点 故P为BC中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 2 求二面角A NP M的余弦值 解方法一如图 2 作NQ AC于Q 连接MQ 图 2 由 1 知 NP AC 所以NQ NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 因为MN NP 所以 MNQ为二面角A NP M的一个平面角 由 1 知 ABD BCD为边长为2的正三角形 由俯视图可知 AO 平面BCD 因为OC 平面BCD 所以AO OC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 作BR AC于R 在 ABC中 AB BC 因为在平面ABC内 NQ AC BR AC 所以NQ BR 又因为N为AB的中点 所以Q为AR的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 图 3 方法二由俯视图及 1 可知 AO BCD 因为OC OB 平面BCD 所以AO OC AO OB 又OC OB 所以直线OA OB OC两两垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 因为M N分别为线段AD AB的中点 又由 1 知 P为线段BC的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 设平面ABC的一个法向量n1 x1 y1 z1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 设平面MNP的一个法向量n2 x2 y2 z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 取z2 1 所以n2 0 1 1 设二面角A NP M的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 8 2015 课标全国 如图 四边形ABCD为菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一侧的两点 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 证明 平面AEC 平面AFC 证明连接BD 设BD AC G 连接EG FG EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 在菱形ABCD中 不妨设GB 1 由BE 平面ABCD AB BC 可知AE EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 从而EG2 FG2 EF2 所以EG FG 又AC FG G 可得EG 平面AFC 因为EG 平面AEC 所以平面AEC 平面AFC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 2 求直线AE与直线CF所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 2 点Q是线段BP上的动点 当直线CQ与DP所成的角最小时 求线段BQ的长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 解以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 则各点的坐标为A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 因为AD 平面PAB 高考题型精练 设平面PCD的法向量为m x y z 所以m 1 1 1 是平面PCD的一个法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 10 2015 北京 如图 在四棱锥AEFCB中 AEF为等边三角形 平面AEF 平面EFCB EF BC BC 4 EF 2a EBC FCB 60 O为EF的中点 1 求证 AO BE 证明因为 AEF是等边三角形 O为EF的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 所以AO EF 又因为平面AEF 平面EFCB 平面AEF 平面EFCB EF AO 平面AEF 所以AO 平面EFCB 又BE 平面EFCB 所以AO BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 2 求二面角FAEB的余弦值 解取BC中点G 连接OG 由题设知EFCB是等腰梯形 所以OG EF 由 1 知AO 平面EFCB 又OG 平面EFCB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 所以OA OG 如图建立空间直角坐标系 设平面AEB的法向量为n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 平面AEF的一个法向量为p 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考题型精练 3 若BE 平面AOC 求a的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10