高考数学 7.4 直线、平面平行的判定及其性质课件.ppt

第四节直线 平面平行的判定及其性质 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 直线与平面平行的判定定理和性质定理 此平面内 l a a l 交线 l l b 2 平面与平面平行的判定定理和性质定理 相交直线 a b a b P a b 相交 交线 a b 2 必备结论教材提炼记一记 1 垂直于同一条直线的两个平面平行 即若a a 则 2 平行于同一平面的两个平面平行 即若 则 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 证明线面平行 面面平行的方法 2 数学思想 数形结合思想与转化与化归思想 3 记忆口诀 判断线和面平行 面中找条平行线 已知线和面平行 过线作面找交线 要证面与面平行 面中找出两交线 线面平行若成立 面面平行不用看 若是面面已平行 线面平行是必然 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 2 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 3 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 4 平行于同一平面的两条直线平行 5 若 且直线a 则直线a 解析 1 错误 当这两条直线为相交直线时 才能保证这两个平面平行 2 正确 如果两个平面平行 则在这两个平面内的直线没有公共点 则它们平行或异面 3 错误 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 或a 4 错误 两条直线平行或相交或异面 5 错误 直线a 或直线a 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2P61习题T1改编 下列命题中正确的是 A 若a b是两条直线 且a b 那么a平行于经过b的任何平面B 若直线a和平面 满足a 那么a与 内的任何直线平行C 平行于同一条直线的两个平面平行D 若直线a b和平面 满足a b a b 则b 解析 选D A错误 因a可能在经过b的平面内 B错误 a与 内的直线平行或异面 C错误 两个平面可能相交 D正确 由a 可得a平行于经过直线a的平面与 的交线c 即a c 又a b 所以b c b c 所以b 2 必修2P56T2改编 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是DD1的中点 则A1C1与平面ACE的位置关系为 解析 由正方体知 四边形ACC1A1为平行四边形 则A1C1 AC 又A1C1 平面AEC AC 平面AEC 所以A1C1 平面ACE 答案 平行 3 真题小试感悟考题试一试 1 2013 广东高考 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若l l 则 D 若 l 则l 解析 选B 选项A 若l l 则 和 可能平行也可能相交 故错误 选项B 若l l 则 故正确 选项C 若l l 则 故错误 选项D 若 l 则l与 的位置关系有三种可能 l与 相交 l l 故错误 故选B 2 2015 洛阳模拟 若直线a b 且直线a 平面 则直线b与平面 的位置关系是 A b B b C b 或b D b与 相交或b 或b 解析 选D 当b与 相交或b 或b 时 均有满足直线a b 且直线a 平面 的情况 故选D 3 2015 杭州模拟 设 为平面 a b为直线 给出下列条件 a b a b a b a b其中能推出 的条件是 A B C D 解析 选C 中条件得到的两个平面 也可能相交 故 不正确 由 故 正确 中 可得 与 相交或平行 故 不正确 a b a b 得a 所以 故 正确 考点1与线 面平行关系有关命题真假的判断 典例1 1 2015 长春模拟 设a b为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列四个命题中 正确的是 A 若a b与 所成的角相等 则a bB 若a b 则a bC 若a b a b 则 D 若a b 则a b 2 2015 厦门模拟 已知 是两个不同的平面 下列四个条件中能推出 的是 存在一条直线a a a 存在一个平面 存在两条平行直线a b a b a b 存在两条异面直线a b a b a b A B C D 解题提示 1 对每个选择支 全面考虑空间线面位置关系的各种可能 依据相应的判定定理和性质定理进行判断 2 根据线面 线线平行或垂直的判定或性质求解 规范解答 1 选D 对于选项A 当a b与 均成0 角时 a b就不一定平行 对于选项B 只需找个平面 使 且a b 即可满足题设 但a b不一定平行 对于选项C 可参考直三棱柱模型排除 故选D 2 选C 对 存在一条直线a a a 故 正确 排除B D 对于 存在两条平行直线a b a b a b 如图所示 不能推出 故排除A 规律方法 与平行关系有关命题真假的判断技巧 1 熟悉线 面平行关系的各个定义 定理 无论是单项选择还是含选择项的填空题 都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除 再逐步判断其余选项 2 结合题意构造或绘制图形 结合图形作出判断 3 特别注意定理所要求的条件是否完备 图形是否有特殊情形 变式训练 2015 绍兴模拟 已知两条直线a b 两个平面 则下列结论中正确的是 A 若a 且 则a B 若b a b 则a C 若a 则a D 若b a b 则a 解析 选A A 因为 又a 所以a 故A正确 B 因为b a b 若a 则a不可能与 平行 故B错误 C 因为a 若a 则结论不成立 故C错误 D 因为b a b 若a 则结论不成立 故D错误 加固训练 设a b为不重合的两条直线 为不重合的两个平面 给出下列命题 若a b a b是异面直线 那么b 若a 且b 则a b 若a b a b共面 那么a b 若 a 则a 上面命题中 所有真命题的序号是 解析 中的直线b与平面 也可能相交 故不正确 中的直线a b可能平行 相交或异面 故不正确 由线面平行的性质得 正确 由面面平行的性质可得 正确 答案 考点2直线与平面平行的判定与性质知 考情直线与平面平行的判定与性质是高考考查平行关系的一个重要考向 常与线线平行 面面平行及垂直关系综合出现在解答题中 考查线面平行的判定定理与性质定理在证明中的应用 明 角度命题角度1 证明直线与平面平行 典例2 2014 新课标全国卷 改编 如图所示 在四棱锥P ABCD中 ABC ACD 90 BAC CAD 60 E为PD的中点 AB 1 求证 CE 平面PAB 解题提示 根据线面平行的判定定理在平面PAB内找一条直线 证明其与CE平行即可 规范解答 由已知条件有AC 2AB 2 AD 2AC 4 CD 2 如图所示 延长DC AB 设其交于点N 连接PN 因为 NAC DAC 60 AC CD 所以C为ND的中点 又因为E为PD的中点 所以EC PN 因为EC 平面PAB PN 平面PAB 所以CE 平面PAB 一题多解 解答本题 你知道几种证法 解答本题 还有以下方法 取AD中点为M 连接ME MC 因为E为PD的中点 所以EM PA EM 平面PAB PA 平面PAB 所以EM 平面PAB 由已知得AC 2AB 2 AD 2AC 4 则CM AM 2 所以 BAC ACM 60 所以MC AB 又CM 平面PAB 所以CM 平面PAB 而CM EM M 所以平面EMC 平面PAB 又EC 平面EMC 所以EC 平面PAB 互动探究 在本例的条件下 若PA 平面ABCD PA 2AB 求三棱锥P ACE的体积 解析 方法一 由已知条件有AC 2AB 2 AD 2AC 4 CD 2 因为PA 平面ABCD 所以PA CD 又因为CD AC AC PA A 所以CD 平面PAC 因为E是PD的中点 所以点E到平面PAC的距离h CD S PAC 2 2 2 所以四面体PACE的体积V S PAC h 2 方法二 由已知条件有AC 2AB 2 AD 2AC 4 CD 2 因为PA 平面ABCD 所以VP ACD S ACD PA 2 2 因为E是PD的中点 所以四面体PACE的体积V VP ACD 命题角度2 直线和平面平行性质定理的应用 典例3 2014 安徽高考 如图 四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点G E F H分别是棱PB AB CD PC上共面的四点 平面GEFH 平面ABCD BC 平面GEFH 1 证明 GH EF 2 若EB 2 求四边形GEFH的面积 解题提示 1 由线面平行得出BC平行于直线EF GH 2 连接AC BD交于点O 设BD交EF于点K 则点K为OB的中点 由面面垂直得出GK EF 再由梯形面积公式S GK计算求解 规范解答 1 因为BC 平面GEFH BC 平面PBC 且平面PBC 平面GEFH GH 所以GH BC 同理可证EF BC 因此GH EF 2 连接AC BD交于点O BD交EF于点K 连接OP GK 因为PA PC 点O是AC的中点 所以PO AC 同理可得PO BD 又BD AC O 且AC BD都在底面内 所以PO 底面ABCD 又因为平面GEFH 平面ABCD 且PO 平面GEFH 所以PO 平面GEFH 因为平面PBD 平面GEFH GK 所以PO GK 且GK 底面ABCD 从而GK EF 所以GK是梯形GEFH的高 由AB 8 EB 2得EB AB KB DB 1 4 从而KB DB OB 即点K是OB的中点 再由PO GK得GK PO 即点G是PB的中点 且GH BC 4 由已知可得OB 4 PO 所以GK 3 故四边形GEFH的面积S GK 3 18 悟 技法1 证明线线平行的常用方法 1 利用公理4 找第三线 只需证明两线都与第三线平行即可 2 利用三角形的中位线的性质 3 构建平行四边形利用其对边平行 2 证明直线与平面平行的两种重要方法及关键 1 利用直线与平面平行的判定定理 关键 在该平面内找或作一线证明其与已知直线平行 2 利用面面平行的性质 关键 过该线找或作一平面证明其与已知平面平行 3 线面平行性质定理的应用转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行 通 一类1 2013 新课标全国卷 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别是AB BB1的中点 1 证明 BC1 平面A1CD 2 设AA1 AC CB 2 AB 2 求三棱锥C A1DE的体积 解析 1 连接AC1 交A1C于点F 则F为AC1中点 又D是AB的中点 连接DF 则BC1 DF 因为DF 平面A1CD BC1 平面A1CD 所以BC1 平面A1CD 2 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以AA1 CD 由已知AC CB D为AB的中点 所以CD AB 又AA1 AB A 于是CD 平面ABB1A1 由AA1 AC CB 2 AB 2得 ACB 90 CD A1D DE A1E 3 故A1D2 DE2 A1E2 即DE A1D 所以 2015 合肥模拟 如图所示 在四面体ABCD中 截面EFGH平行于对棱AB和CD 试问截面在什么位置时其截面面积最大 解析 因为AB 平面EFGH 平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG EH 所以AB FG AB EH 所以FG EH 同理可证EF GH 所以截面EFGH是平行四边形 设AB a CD b FGH 即为异面直线AB和CD所成的角或其补角 又设FG x GH y 则由平面几何知识可得两式相加得即y a x 所以S EFGH FG GH sin x a x sin 因为x 0 a x 0且x a x a为定值 所以当且仅当x a x时 此时即当截面EFGH的顶点E F G H分别为棱AD AC BC BD的中点时截面面积最大 2 2015 杭州模拟 一个多面体的直观图及三视图如图所示 其中M N分别是AF BC的中点 1 求证 MN 平面CDEF 2 求多面体A CDEF的体积 解析 由三视图可知 AB BC BF 2 DE CF 2 CBF 1 取BF的中点G 连接MG NG 由M N分别为AF BC的中点可得 NG CF MG EF 且NG MG G CF EF F 所以平面MNG 平面CDEF 又MN 平面MNG 所以MN 平面CDEF 2 取DE的中点H 因为AD AE 所以AH DE 在直三棱柱ADE BCF中 平面ADE 平面CDEF 平面ADE 平面CDEF DE 所以AH 平面CDEF 所以多面体A CDEF是以AH为高 以矩形CDEF为底面的棱锥 在 ADE中 AH S矩形CDEF DE EF 4 所以棱锥A CDEF的体积V S矩形CDEF AH 考点3面面平行的判定和性质 典例4 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 证明 平面A1BD 平面CD1B1 解题提示 在平面A1BD找两条相交直线 分别证明其平行平面CD1B1即可 规范解答 由题设知 BB1DD1 所以四边形BB1D1D是平行四边形 所以BD B1D1 又BD 平面CD1B1 所以BD 平面CD1B1 因为A1D1B1C1BC 所以四边形A1BCD1是平行四边形 所以A1B D1C 又A1B 平面CD1B1 所以A1B 平面CD1B1 又BD A1B B 所以平面A1BD 平面CD1B1 规律方法 1 判定面面平行的方法 1 利用定义 常用反证法 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 2 面面平行的性质 1 两平面平行 则一个平面内的直线平行于另一平面 2 若一平面与两平行平面相交 则交线平行 提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 重视三种平行间的转化关系线线平行 线面平行 面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想 解题中既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 变式训练 2015 盐城模拟 如图所示 斜三棱柱ABC A1B1C1中 点D D1分别为AC A1C1上的点 1 当等于何值时 BC1 平面AB1D1 2 若平面BC1D 平面AB1D1 求的值 解析 1 如图所示 取D1为线段A1C1的中点 此时 1 连接A1B 交AB1于点O 连接OD1 由棱柱的性质知 四边形A1ABB1为平行四边形 所以点O为A1B的中点 在 A1BC1中 点O D1分别为A1B A1C1的中点 所以OD1 BC1 又因为OD1 平面AB1D1 BC1 平面AB1D1 所以BC1 平面AB1D1 所以当 1时 BC1 平面AB1D1 2 由平面BC1D 平面AB1D1 且平面A1BC1 平面BC1D BC1 平面A1BC1 平面AB1D1 D1O得BC1 D1O 所以又由题可知所以 加固训练 1 如图所示 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为3的正方体 点E在AA1上 点F在CC1上 G在BB1上 且AE FC1 B1G 1 H是B1C1的中点 1 求证 E B F D1四点共面 2 求证 平面A1GH 平面BED1F 证明 1 连接FG 因为AE B1G 1 所以BG A1E 2 又BG A1E 所以四边形BGA1E为平行四边形 则A1G BE 又C1F B1G C1F B1G 所以四边形C1FGB1为平行四边形 则FG B1C1 FG B1C1 又B1C1 D1A1 B1C1 D1A1 所以FG D1A1 FG D1A1 则四边形A1GFD1为平行四边形 则A1G D1F 所以D1F BE 故E B F D1四点共面 2 因为H是B1C1的中点 所以B1H 又B1G 1 且 FCB GB1H 90 所以 B1HG CBF 则 B1GH CFB FBG 所以HG FB 又由 1 知 A1G BE 且HG A1G G FB BE B 所以平面A1GH 平面BED1F 2 平面 内有 ABC AB 5 BC 8 AC 7 梯形BCDE的底DE 2 过EB的中点B1的平面 若 分别交EA DC于A1 C1 求 A1B1C1的面积 解析 因为 所以A1B1 AB B1C1 BC 又因 A1B1C1与 ABC同向 所以 A1B1C1 ABC 又因为cos ABC 所以 ABC 60 A1B1C1 又因为B1为EB的中点 所以B1A1是 EAB的中位线 所以B1A1 AB 同理知B1C1为梯形BCDE的中位线 所以B1C1 BC DE 5 则 A1B1 B1C1 sin60 故 A1B1C1的面积为 规范解答11线 面平行中的探索性问题 典例 12分 2014 四川高考 在如图所示的多面体中 四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 1 若AC BC 证明 直线BC 平面ACC1A1 2 设D E分别是线段BC CC1的中点 在线段AB上是否存在一点M 使直线DE 平面A1MC 请证明你的结论 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 所以AA1 AB AA1 AC 因为AB AC为平面ABC内两条相交直线 所以AA1 平面ABC 2分因为直线BC 平面ABC 所以AA1 BC 3分又由已知 AC BC AA1 AC为平面AAC1A1内两条相交直线 所以BC 平面ACC1A1 6分 2 取线段AB的中点M 连接A1M MC A1C AC1 设O为A1C AC1的交点 由已知 O为AC1的中点 连接MD OE 则MD OE分别为 ABC ACC1的中位线 所以MDAC OEAC 因此MDOE 8分 连接OM 从而四边形MDEO为平行四边形 则DEMO 因为直线DE 平面A1MC MO 平面A1MC 所以直线DE 平面A1MC 10分即线段AB上存在一点M 线段AB的中点 使直线DE 平面A1MC 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 注意答题的规范性在解题过程中 注意答题要求 严格按照题目及相关知识的要求答题 如本例中证明直线与平面垂直 要先证直线与平面内两相交直线垂直 再证结论 另外还要注意解题过程中取的点 连的线 都要适时的交待 2 关键步骤要全面阅卷时 主要看关键步骤 关键点 有关键步骤 关键点则得分 没有要相应扣分 所以解题时要写全关键步骤 踩点得分 如本例阅卷提示的前两处 不能漏掉 否则要扣分