高考数学 5.2 等差数列及其前n项和课件.ppt

第二节等差数列及其前n项和 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 等差数列的概念 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 一般用字母d表示 定义的表达式为 同一个常数 公差 an 1 an d n N 2 等差中项 如果a A b成等差数列 那么A叫做a b的等差中项 且A 3 等差数列的通项公式 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an a1 n 1 d 4 等差数列的前n项和公式 2 必备结论教材提炼记一记 1 通项公式的推广 an am n m N 2 等差数列的性质 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n N 则 k l 2m k l m N 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn n N 是等差数列 Sm S2m S3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则Sm S2m Sm 成等差数列 n m d ak al am an ak al 2am S3m S2m 两个等差数列 an bn 的前n项和Sn Tn之间的关系为 数列 an 的前n项和Sn An2 Bn A 0 是 an 成等差数列的 条件 3 等差数列的增减性 d 0时为 数列 且当a10时前n项和Sn有最大值 充分 递增 递减 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 整体代入法 待定系数法 等差数列的判定方法 求等差数列前n项和的最大 小 值的方法等 2 数学思想 函数与方程 分类讨论 化归与转化 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 解析 1 错误 若这些常数都相等 则这个数列是等差数列 若这些常数不全相等 这个数列就不是等差数列 2 正确 如果数列 an 为等差数列 根据定义an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若对任意n N 都有2an 1 an an 2 则an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根据定义数列 an 为等差数列 3 正确 当d 0时为递增数列 d 0时为常数列 d 0时为递减数列 4 错误 根据等差数列的通项公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有当d 0时 等差数列的通项公式才是n的一次函数 否则不是 5 错误 根据等差数列的前n项和公式显然只有公差d 0时才是关于n的常数项为0的二次函数 否则不是 甚至也不是n的一次函数 即a1 d 0时 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5P38例1 1 改编 已知等差数列 5 2 1 则该数列的第20项为 解析 依题意得 该等差数列的首项为 5 公差为3 所以a20 5 19 3 52 故第20项为52 答案 52 2 必修5P46T5改编 在100以内的正整数中有个能被6整除的数 解析 由题意知 能被6整除的数构成一个等差数列 an 则a1 6 d 6 得an 6 n 1 6 6n 由an 6n 100 即n 则在100以内有16个能被6整除的数 答案 16 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 重庆高考 在等差数列an中 a1 2 a3 a5 10 则a7 A 5B 8C 10D 14 解析 选B 因为a1 a7 a3 a5 所以a7 a3 a5 a1 10 2 8 2 2014 辽宁高考 设等差数列 an 的公差为d 若数列为递减数列 则 A d0C a1d0 解析 选C 由数列为递减数列 得又由指数函数性质得a1an 1 a1an 由等差数列的公差为d知 an an 1 d 所以a1an 1 a1an a1an a1an 1 0 a1 an an 1 0 a1d 0 3 2015 长春模拟 等差数列 an 的前n项和为Sn 若S17为一确定常数 则下列各式也为确定常数的是 A a2 a15B a2 a15C a2 a9 a16D a2 a9 a16 解析 选C 因为S17为一确定常数 根据公式可知a1 a17为一确定常数 又a1 a17 a2 a16 2a9 所以a2 a9 a16为一确定常数 故选C 4 2015 福州模拟 在等差数列 an 中 满足3a4 7a7 且a1 0 Sn是数列 an 前n项的和 若Sn取得最大值 则n A 7B 8C 9D 10 解析 选C 设公差为d 由题设得3 a1 3d 7 a1 6d 所以解不等式an 0 即所以则n 9 当n 9时 an 0 同理可得n 10时 an 0 故当n 9时 Sn取得最大值 考点1等差数列的基本运算 典例1 1 2014 福建高考改编 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若a3 6 S3 12 则a6 A 8B 10C 12D 14 2 2015 杭州模拟 已知等差数列 an a10 30 a20 50 求通项an 若数列 an 的前n项和Sn 242 求n的值 解题提示 1 利用等差数列的前n项和公式及通项公式 求出首项及公差 再利用通项公式求出a6 2 先求出基本量a1和d 再利用通项公式求解 利用前n项和公式解方程即可 规范解答 1 选C 设公差为d 由题意知解得所以a6 a1 5d 12 2 设公差为d 由an a1 n 1 d a10 30 a20 50 得方程组解得a1 12 d 2 所以an 2n 10 由得方程解得n 11或n 22 舍去 互动探究 若例题 1 中的已知条件不变 求Sn 解析 由本例 1 可知所以 规律方法 1 等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了方程的思想 2 等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时 可设中间三项为a d a a d 若偶数个数成等差数列且和为定值时 可设中间两项为a d a d 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 变式训练 2014 浙江高考 已知等差数列 an 的公差d 0 设 an 的前n项和为Sn a1 1 S2 S3 36 1 求d及Sn 2 求m k m k N 的值 使得am am 1 am 2 am k 65 解析 1 由题意知 2a1 d 3a1 3d 36 解得d 2或d 5 舍去 所以 2 由 1 知 am am 1 am 2 am k 2m k 1 k 1 所以 2m k 1 k 1 65 由m k N 知 2m k 1 k 1 1 故所以 加固训练 1 2013 新课标全国卷 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m A 3B 4C 5D 6 解析 选C 方法一 由已知得 am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 因为数列 an 为等差数列 所以d am 1 am 1 又因为所以m a1 2 0 因为m 0 所以a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 方法二 因为Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 所以am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 所以公差d am 1 am 1 由由 得代入 可得m 5 方法三 因为数列 an 为等差数列 且前n项和为Sn 所以数列也为等差数列 所以解得m 5 经检验为原方程的解 故选C 2 数列 an 满足an 1 an 4n 3 n N 1 若 an 是等差数列 求其通项公式 2 若 an 满足a1 2 Sn为 an 的前n项和 求S2n 1 解析 1 因为an 1 an 4n 3 所以an 2 an 1 4n 1 两式相减得an 2 an 4 因为 an 是等差数列 设公差为d 所以d 2 又因为a1 a2 1 即a1 a1 d 1 所以所以 2 因为a1 2 a1 a2 1 所以a2 1 又因为an 2 an 4 所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列 公差均为4 所以a2n 1 4n 2 a2n 4n 5 所以S2n 1 a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 考点2等差数列的判定与证明 典例2 1 设an n 1 2 bn n2 n n N 则下列命题中不正确的是 A an 1 an 是等差数列B bn 1 bn 是等差数列C an bn 是等差数列D an bn 是等差数列 2 2015 上海模拟 已知数列 an 对于任意n 2 在an 1与an之间插入n个数 构成的新数列 bn 成等差数列 并记在an 1与an之间插入的这n个数的算术平均值为cn 1 若an 求c1 c2 c3的值 在 的条件下是否存在常数 使 cn 1 cn 是等差数列 如果存在 求出满足条件的 如果不存在 请说明理由 解题提示 1 根据等差数列的定义 逐一验证答案后作出判断 2 先分别求出a1 a2 a3 a4的值 再由已知分别解出c1 c2 c3的值 根据 的结论 求出cn 1 再根据 cn 1 cn cn cn 1 为常数 求 的值 视 的值是否存在则得结论 规范解答 1 选D 等差数列的通项公式是关于n的一次式形式的函数 一次项系数可以为0 而an 1 an 2n 3 bn 1 bn 2n an bn 3n 1 故A B C均正确 2 由题意知a1 2 a2 1 a3 5 a4 10 在 2 1之间插入两个数 使之成为等差数列 则可得公差为1 故在a1与a2之间插入 1 0 得c1 在a2与a3之间插入2 3 4 得c2 3 在a3与a4之间插入6 7 8 9 得c3 在an 1与an之间插入n个数构成等差数列 则假设存在 使得 cn 1 cn 是等差数列 则 cn 1 cn cn cn 1 cn 1 cn cn cn 1 为常数 所以 1 即当 1时 cn 1 cn 是等差数列 规律方法 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出Sn An2 Bn后 根据Sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 提醒 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断 变式训练 2015 南昌模拟 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且a5 a13 34 S3 9 1 求数列 an 的通项及前n项和公式 2 设数列 bn 的通项公式为bn 问 是否存在正整数t 使得b1 b2 bm m 3 m N 成等差数列 若存在 求出t和m的值 若不存在 请说明理由 解析 1 设公差为d 由题意得解得a1 1 d 2 故an 2n 1 Sn n2 2 由 1 知要使b1 b2 bm成等差数列 必须2b2 b1 bm 即整理得 因为m t为正整数 所以t只能取2 3 5 当t 2时 m 7 当t 3时 m 5 当t 5时 m 4 所以存在正整数t 使得b1 b2 bm成等差数列 加固训练 已知等差数列的前三项依次为a 4 3a 前n项和为Sn 且Sk 110 1 求a及k的值 2 设数列 bn 的通项bn 证明数列 bn 是等差数列 并求其前n项和Tn 解析 1 设该等差数列为 an 则a1 a a2 4 a3 3a 由已知有a 3a 8 得a1 a 2 公差d 4 2 2 所以由Sk 110 得k2 k 110 0 解得k 10或k 11 舍去 故a 2 k 10 2 由 1 得则故bn 1 bn n 2 n 1 1 即数列 bn 是首项为2 公差为1的等差数列 所以 考点3等差数列性质的应用知 考情对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及 有时以选择题 填空题出现 难度中等偏下 有时在解答题中出现 常与求通项an及前n项和Sn结合命题 题目难度中等 明 角度命题角度1 根据等差数列的性质求基本量 典例3 2015 广州模拟 等差数列 an 前17项和S17 51 则a5 a7 a9 a11 a13等于 A 3B 6C 17D 51 解题提示 利用等差数列的前n项和公式及性质求解 规范解答 选A 由于S17 17 17a9 51 所以a9 3 根据等差数列的性质a5 a13 a7 a11 所以a5 a7 a9 a11 a13 a9 3 命题角度2 根据等差数列的性质求前n项和的最值 典例4 2015 乌鲁木齐模拟 设等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a3 12 S12 0 S130 S130 S13 0 确定出正负变化的相邻的两项 从而确定最值 规范解答 1 因为S12 0 S13 0 所以即又a3 a1 2d 12 所以解得 2 由题意及等差数列的性质可得所以a70 所以在数列 an 中 前6项为正 从第7项起 以后各项为负 故S6最大 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题还有以下解法 n 1 2 3 12 所以 因为所以所以当n 6时 Sn有最大值 所以S1 S2 S12中值最大的为S6 悟 技法求等差数列的前n项和Sn最大 小 值的常用方法1 邻项变号法 1 当a1 0 d0时 满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm 2 函数法 利用等差数列的前n项和 d 0 Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0 借助二次函数的图象或配方法解决最值问题 注意n N 通 一类1 2015 济南模拟 在等差数列 an 中 a2 a6 则 解析 选D 因为a2 a6 所以所以 2 2015 成都模拟 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足S15 0 S16 0 则中最大的项为 解析 选D 由得a8 0 由得a9 a80 则又S8 S7 S6 a8 a7 a6 则所以最大的项为故选D 3 2015 吉林模拟 设等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn Tn 若对任意正整数n都有则的值为 解析 因为 an bn 为等差数列 所以因为所以答案 4 2015 咸阳模拟 已知公差大于零的等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求通项an 2 求Sn的最小值 3 若数列 bn 是等差数列 且求非零常数c 解析 1 因为数列 an 为等差数列 所以a3 a4 a2 a5 22 又a3 a4 117 所以a3 a4是方程x2 22x 117 0的两实根 又公差d 0 所以a3 a4 所以a3 9 a4 13 所以所以所以通项an 4n 3 2 由 1 知a1 1 d 4 所以 所以当n 1时 Sn最小 最小值为S1 a1 1 3 由 2 知Sn 2n2 n 所以所以因为数列 bn 是等差数列 所以2b2 b1 b3 即所以2c2 c 0 所以或c 0 舍去 故 巧思妙解7巧用等差数列的性质求前n项和 典例 2015 日照模拟 等差数列 an 的前m项和为30 前3m项和为90 则它的前2m项和为 常规解法 记等差数列 an 的前n项和为Sn 公差为d 由已知得根据等差数列的前n项和公式得由 可得把 代入 得 化简得d 0 再由 得所以答案 60 巧妙解法一 由Sm S2m Sm S3m S2m成等差数列 可得2 S2m Sm Sm S3m S2m 即答案 60 巧妙解法二 由得所以是以a1为首项 为公差的等差数列 从而成等差数列 所以所以答案 60 方法指导 1 熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义 通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效 方便 快捷地解决许多等差数列问题 2 应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系 但要注意性质运用的条件 如若m n p q 则am an ap aq m n p q N 需要当序号之和相等 项数相同时才成立 再比如只有当等差数列 an 的前n项和Sn中的n为奇数时 才有Sn na中成立 类题试解 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和S11 A 58B 88C 143D 176 常规解法 选B 设等差数列 an 的公差为d 由题意可得a1 3d a1 7d 16 所以a1 8 5d 所以 巧妙解法 选B 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 所以a1 a11 a4 a8 16 所以