高考数学 5.3 等比数列及其前n项和课件.ppt

第三节等比数列及其前n项和 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 等比数列及其相关概念 前面 一项 同一个常数 常数 G2 ab 2 等比数列的通项公式 若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 n N 3 等比数列的前n项和公式 当公比q 1时 Sn 当公比q 1时 Sn an a1qn 1 na1 2 必备结论教材提炼记一记等比数列的常见性质 1 项的性质 an amqn m am kam k am2 m k m k N a 若m n p q 2k m n p q k N 则am an ak2 ap aq b 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an an an2 an bn 0 仍然是等比数列 c 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk 2 和的性质 Sm n Sn qnSm 若等比数列 an 共2k k N 项 则 公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn 仍成等比数列 其公比为qn 当公比为 1时 Sn S2n Sn 不一定构成等比数列 S3n S2n S3n S2n 3 等比数列 an 的单调性 满足时 an 是 数列 满足时 an 是 数列 当时 an 为 数列 当q 0时 an 为摆动数列 递增 递减 常 4 其他性质 an 为等比数列 若a1 a2 an Tn 则 成等比数列 当数列 an 是各项都为正数的等比数列时 数列 lgan 是公差为lgq的等差数列 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 基本量运算中的消元法 待定系数法 整体代入法 等比数列的四个判定方法 2 数学思想 函数与方程 分类讨论 转化与化归 3 记忆口诀 等差等比两数列 通项公式n项和 数列问题多变幻 方程化归整体算 归纳思想非常好 编个程序好思考 一算二看三联想 猜测证明不可少 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数 则这个数列是等比数列 2 满足an 1 qan n N q为常数 的数列 an 为等比数列 3 G为a b的等比中项 G2 ab 4 如果 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 5 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 6 数列 an 的通项公式是an an 则其前n项和为Sn 解析 1 错误 根据等比数列的定义可知 把 常数 改为 同一非零常数 后结论正确 2 错误 q 0时 an 不是等比数列 3 错误 G为a b的等比中项 G2 ab 反之不真 如a 0 b 0 G 0 4 错误 如数列 an 为1 1 1 1 则数列 bn 为0 0 0 0 不是等比数列 5 错误 等比数列 an 中可能有小于零的项 而当an 0时lnan无意义 6 错误 当a 1时结论不成立 答案 1 2 3 4 5 6 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5P53T1 2 改编 在等比数列 an 中 若a1 0 a2 18 a4 8 则公比q等于 解析 选C 方法一 由解得又a10 所以所以 2 必修5P62T2改编 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若则 解析 S3 S6 S3 S9 S6成等比数列 则 S6 S3 2 S3 S9 S6 由则 S3 S9 S6 所以所以答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 北京高考 设 an 是公比为q的等比数列 则 q 1 是 an 为递增数列 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选D 当a11时 an 是递减数列 当 an 为递增数列时 a10 q 1 因此 q 1 是 an 为递增数列 的既不充分也不必要条件 2 2014 天津高考 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 Sn为其前n项和 若S1 S2 S4成等比数列 则a1 解析 选D 因为S1 S2 S4成等比数列 所以S22 S1 S4 即 a1 a1 1 2 解得 3 2015 洛阳模拟 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为Sn 若Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则q为 解析 若q 1 则Sn na1 Sn 1 n 1 a1 Sn 2 n 2 a1 显然2Sn Sn 1 Sn 2 不合题意 所以q 1 由题意知2Sn Sn 1 Sn 2 即由于所以2 2qn 2 qn 1 qn 2 而qn 0 所以q2 q 2 0 而q 1 所以q 2 答案 2 4 2014 广东高考 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 解析 方法一 各项均为正数的等比数列 an 中a10a11 a9a12 a1a20 则a1a20 e5 lna1 lna2 lna20 ln a1a20 10 lne50 50 方法二 各项均为正数的等比数列 an 中a10a11 a9a12 a1a20 则a1a20 e5 设lna1 lna2 lna20 S 则lna20 lna19 lna1 S 2S 20ln a1a20 100 S 50 答案 50 考点1等比数列的基本运算 典例1 1 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 则a1 2 2014 福建高考 在等比数列 an 中 a2 3 a5 81 求an 设bn log3an 求数列 bn 的前n项和Sn 解题提示 1 利用S3 a1 a2 a3 求出q2 再解方程求得a1 2 利用等比数列通项公式求出首项和公比 由an求出bn的通项公式 得出 bn 为等差数列 利用等差数列前n项和公式求前n项和 规范解答 1 选C 由S3 a2 10a1 得a1 a2 a3 a2 10a1 即a3 9a1 即a1q2 9a1 解得q2 9 又因为a5 9 所以a1q4 9 解得 2 设 an 的公比为q 依题意得解得因此 an 3n 1 因为bn log3an n 1 所以数列 bn 为等差数列 其前n项和 互动探究 若本例题 1 已知条件不变 求其前n项和Sn 解析 由本例 1 知q 3 所以当q 3时 当q 3时 因此 规律方法 解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 数形结合的思想 通项an a1qn 1可化为因此an是关于n的函数 点 n an 是曲线上一群孤立的点 3 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 an 的前n项和Sn na1 当q 1时 an 的前n项和 4 整体思想 应用等比数列前n项和公式时 常把qn或当成整体进行求解 5 等比数列设项技巧对称设元法 一般地 连续奇数个项成等比数列 可设为 x xq 连续偶数个项成等比数列 可设为 xq xq3 注意 此时公比q2 0 并不适合所有情况 这样即可减少未知量的个数 也使得解方程较为方便 变式训练 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S1 S3 S2成等差数列 1 求 an 的公比q 2 若a1 a3 3 求Sn 解析 1 因为S1 S3 S2成等差数列 所以a1 a1 a1q 2 a1 a1q a1q2 由于a1 0 故2q2 q 0 又q 0 从而 2 由已知可得故a1 4 从而 加固训练 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 且数列 Sn 是以2为公比的等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求a1 a3 a2n 1 解析 1 因为S1 a1 1 且数列 Sn 是以2为公比的等比数列 所以Sn 2n 1 又当n 2时 an Sn Sn 1 2n 2 2 1 2n 2 故 2 因为a3 a5 a2n 1是以2为首项 4为公比的等比数列 所以a3 a5 a2n 1 所以a1 a3 a2n 1 考点2等比数列的判定与证明 典例2 1 2013 福建高考 已知等比数列 an 的公比为q 记bn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m cn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m m n N 则以下结论一定正确的是 A 数列 bn 为等差数列 公差为qmB 数列 bn 为等比数列 公比为q2mC 数列 cn 为等比数列 公比为D 数列 cn 为等比数列 公比为 2 2015 镇海模拟 已知数列 an 和 bn 满足 a1 an 1 bn 1 n an 3n 21 其中 为实数 n为正整数 对任意实数 证明 数列 an 不是等比数列 试判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 解题提示 1 判定一个数列是等差或等比数列 可利用作差法或作商法 看看结果是不是常数 2 只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列即可 若判断 bn 为等比数列 则必须证明对任意的正整数n 这个数列都符合等比数列的定义 规范解答 1 选C 因为bn am n 1 q q2 qm 所以 常数 bn 1 bn不是常数 又因为cn am n 1 mq1 2 m 所以 常数 cn 1 cn不是常数 故选C 2 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有a22 a1a3 即故即9 0 矛盾 所以 an 不是等比数列 因为bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 又b1 18 所以当 18时 bn 0 n N 此时 bn 不是等比数列 当 18时 b1 18 0 由可知bn 0 所以 n N 故当 18时 数列 bn 是以 18 为首项 为公比的等比数列 易错警示 解答本例第 2 题容易出现忽略对等比数列各项均不为零的讨论而致误 规律方法 等比数列的判定方法 1 定义法 若 q q为非零常数 n N 或 q q为非零常数且n 2 n N 则 an 是等比数列 2 中项公式法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n N 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn 1 c q均是不为0的常数 n N 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和Sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 1 前两种方法是判定等比数列的常用方法 常用于证明 而后两种方法常用于选择题 填空题中的判定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 变式训练 已知数列 an 的前n项和为Sn 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 设cn an 1 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 解析 1 因为an Sn n 所以an 1 Sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 所以2an 1 an 1 所以2 an 1 1 an 1 所以所以 an 1 是等比数列 又a1 a1 1 所以因为首项c1 a1 1 从而cn 0 所以公比所以 cn 是以为首项 以为公比的等比数列 2 由 1 可知所以所以当n 2时 bn an an 1 又代入上式也符合 所以 加固训练 已知单调递增的正项等比数列 an 中 a5 a1 15 a4 a2 6 1 求an Sn 2 求证 S7 S14 S7 S21 S14成等比数列 3 若数列 bn 满足bn 2an 在直角坐标系中作出bn f n 的图象 4 若数列 cn 满足其前n项和为Tn 试比较Tn与2的大小 解析 1 设递增的正项等比数列 an 的公比为q 依题设有a5 a1 a1 q4 1 15 a4 a2 a1q q2 1 6 两式相除 得即2q2 5q 2 0 解得q 2或因为 an 是递增的正项等比数列 故q 2 代入a1 q4 1 15 得a1 1 所以an a1qn 1 2n 1 所以an 2n 1 Sn 2n 1 2 由 1 知S7 27 1 S14 214 1 S21 221 1 所以S14 S7 27 27 1 S21 S14 214 27 1 这样有 S14 S7 2 214 27 1 2 S7 S21 S14 故S7 S14 S7 S21 S14成等比数列 3 f n 2n 则bn f n 的图象是函数f x 2x的图象上的一列孤立的点 如图所示 4 cn 则Tn c1 c2 cn 考点3等比数列性质的应用知 考情等比数列的性质是高考重点考查的内容之一 题型有选择题 填空题 近几年也与方程 不等式 三角函数等内容交汇考查 主要考查通项公式的变式 等比中项的变形 前n项和公式的变形等求值运算或判断证明等问题 明 角度命题角度1 根据等比数列的性质求基本量 典例3 1 2015 济南模拟 在各项均为正数的等比数列 an 中 则a32 2a2a6 a3a7 本题源于人A教材必修5P58T2 A 4B 6C 8D 2 2015 衡水模拟 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为Sn 若Sn 2 S3n 14 则S4n等于 A 80B 30C 26D 16 解题提示 1 利用等比数列的性质 将所求式中的a2a6替换为a3a5 a3a7替换为a52 然后将所求式配方转化为 a3 a5 2求值 2 利用等比数列中Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n仍成等比数列的性质解方程求值 规范解答 1 选C 在等比数列中 a3a7 a52 a2a6 a3a5 所以a32 2a2a6 a3a7 a32 2a3a5 a52 a3 a5 2 2 选B 由等比数列性质得 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n成等比数列 则 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 所以 S2n 2 2 2 14 S2n 又S2n 0 得S2n 6 又 S3n S2n 2 S2n Sn S4n S3n 所以 14 6 2 6 2 S4n 14 解得S4n 30 命题角度2 根据等比数列的性质判断单调性 求最大 小 项 典例4 2013 天津高考 已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设 n N 求数列 Tn 的最大项的值与最小项的值 解题提示 1 由S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列求等比数列 an 的公比 然后写出其通项公式 2 写出等比数列 an 的前n项和Sn 表示分n为奇数或偶数讨论其最值 规范解答 1 设等比数列 an 的公比为q 由S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 于是又 an 不是递减数列且所以故等比数列 an 的通项公式为 2 由 1 得当n为奇数时 Sn随n的增大而减小 所以故当n为偶数时 Sn随n的增大而增大 所以故综上 对于n N 总有所以数列 Tn 最大项的值为最小项的值为 悟 技法应用等比数列性质解题的类型及思路 1 求基本量的值灵活运用等比数列的定义 通项公式 前n项和公式与性质 以及函数与方程的思想 整体思想 分类讨论思想等思想方法求解 2 判断单调性 求最大 小 项根据题目条件 认真分析 确定首项与公比 发现具体的变化特征 利用数列相邻两项的大小关系 从而判断单调性或利用不等式组求解最大 小 项问题 通 一类1 2015 江西七校联考 设各项都是正数的等比数列 an Sn为其前n项和 且S10 10 S30 70 那么S40 A 150B 200C 150或 200D 400或 50 解析 选A 依题意 数列S10 S20 S10 S30 S20 S40 S30成等比数列 因此有 S20 S10 2 S10 S30 S20 即 S20 10 2 10 70 S20 故S20 20或S20 30 又S20 0 因此S20 30 S20 S10 20 S30 S20 40 所以 S40 S30 S20 S10 S30 S20 2 解得S40 150 2 2015 杭州模拟 已知数列 an 满足log3an 1 log3an 1 n N 且a2 a4 a6 9 则的值是 解析 选B 由log3an 1 log3an 1 n N 得log3an 1 log3an 1 即解得所以数列 an 是公比为3的等比数列 因为a5 a7 a9 a2 a4 a6 q3 所以a5 a7 a9 9 33 35 所以 3 2015 重庆模拟 在各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a3 a5 a7 4a42 则下列结论中正确的是 A 数列 an 是递增数列B 数列 an 是递减数列C 数列 an 是常数列D 数列 an 有可能是递增数列也有可能是递减数列 解析 选C 各项均为正数的等比数列 an 中 因为 a1 a3 a5 a7 4a42成立 即a1a5 a1a7 a3a5 a3a7 4a42成立 利用等比数列的定义和性质化简可得a32 a42 a42 a52 4a42 进一步化简得a32 a52 2a42 设公比为q 则得a12q4 a12q8 2a12q6 化简可得1 q4 2q2 即 q2 1 2 0 所以q2 1 故q 1 由于各项均为正数的等比数列 故q 1舍去 故此等比数列是常数列 规范解答7函数在研究数列问题中的应用 典例 12分 2015 桂林模拟 已知 函数f x 在 1 1 上有定义 且对 x y 1 1 有f x f y 1 试判断函数f x 的奇偶性 2 对于数列 xn 有试证明数列 f xn 成等比数列 3 求证 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 在f x f y 中 令y x得f x f x f 0 1分再令x y 0得f 0 f 0 f 0 所以f 0 0 2分所以f x f x 又函数f x 的定义域为 1 1 则函数f x 为奇函数 3分 2 由xn 1 得因为等号当且仅当 xn 1 1时成立 当xn 1 1时 根据得xn 1 进而xn 1 xn 2 x1 1 与已知矛盾 故xn 1 1 同理xn 1 1 故所以 5分所以f xn 1 f xn f xn 1 因为函数f x 为奇函数 所以f xn 1 f xn f xn 1 2f xn 1 f xn f xn 1 f xn 1 2f xn 1 因为xn 0 否则与矛盾 所以f xn f 0 0 所以 7分因为所以 f xn 是以 1为首项 为公比的等比数列 9分 3 根据 2 可得f xn 因为 f x1 f x2 f xn 10分 11分又因为n N 所以所以 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 解决数列与函数的两类综合问题的一般思路 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般是利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和 对式子化简变形 2 解决数列与函数综合问题的注意点 1 数列是一类特殊的函数 其定义域是正整数集 而不是某个区间上的连续实数 所以它的图象是一群孤立的点 2 转化以函数为背景的条件时 应注意题中的限制条件 如函数的定义域 这往往是非常容易忽视的问题 3 利用函数的方法研究数列中相关问题时 应准确构造函数 注意数列中相关限制条件的转化