高考数学 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件.ppt

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 平面向量基本定理 基底 平面内 的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 不共线 1e1 2e2 2 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与数对 x y 是一一对应的 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a 其中a在x轴上的坐标是x a在y轴上的坐标是y x y 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x1 y1 x2 x1 y2 y1 4 向量共线的坐标表示 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 0 特别地 若x2 y2 0 则a b x1y2 x2y1 2 必备结论教材提炼记一记若是平面内不共线的向量 则存在实数 1 2使则当 1 2 1时 A B C三点共线 特别地 当 1 2 时 C是A与B的中点 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 待定系数法 2 数学思想 数形结合思想 函数与方程思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 2 平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底 3 向量与的夹角为 ABC 4 在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的 解析 1 正确 由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移 其坐标均为终点坐标减去起点坐标 故平移后坐标不变 2 正确 由基底的定义可知 只要两向量不共线均可作为一组基底 3 错误 两向量的夹角 关键要看起点与方向 与的夹角应为 ABC的补角 4 正确 由平面向量基本定理可知存在唯一实数对 使a e1 e2故其表现形式唯一 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4P98例7改编 已知A 1 1 B 1 3 C 2 若A B C三点共线 则 解析 由已知得 2 4 1 3 若A B C三点共线 则2 3 1 4 0 即2 10 得 5 答案 5 2 必修4P99例8改编 设P是线段P1P2上的一点 若P1 2 3 P2 4 7 且P是P1P2的一个四等分点 则P的坐标为 解析 由题意可知 P是P1P2的一个四等分点有三种情况 即 或 3或 设P x y 则 x 2 y 3 4 x 7 y 若 则 x 2 y 3 4 x 7 y 即得 若 3 则 x 2 y 3 3 4 x 7 y 即得 若 则 x 2 y 3 4 x 7 y 即得答案 或或 3 5 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 福建高考 在下列向量组中 可以把向量a 3 2 表示出来的是 A e1 0 0 e2 1 2 B e1 1 2 e2 5 2 C e1 3 5 e2 6 10 D e1 2 3 e2 2 3 解析 选B 只有B选项两个向量不共线 其他选项的向量都是共线的 不共线的向量方可成为基底 才可以表示向量a 2 2015 南宁模拟 在下列向量组中可以把a 4 2 表示出来的是 A b 0 0 c 3 2 B b 1 1 c 1 1 C b 1 1 c 1 1 D b 2 4 c 1 2 解析 选B 由已知A中 b 0 而C D中两向量共线 不符合作为基底的条件 而B中 a 3b c 所以选B 3 2015 成都模拟 在 ABCD中 AC为一条对角线 2 4 1 3 则向量的坐标为 解析 设 x y 因为所以 1 3 2 4 x y 所以即所以 1 1 所以 1 1 2 4 3 5 答案 3 5 考点1平面向量基本定理及其应用 典例1 1 2015 广州模拟 设a是已知的平面向量且a 0 关于向量a的分解 有如下四个命题 给定向量b 总存在向量c 使a b c 给定向量b和c 总存在实数 和 使a b c 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使a b c 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使a b c 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 2 2015 泉州模拟 在 ABC中 点P是AB上一点 且Q是BC的中点 AQ与CP的交点为M 又试求t的值 解题提示 1 利用平面向量基本定理来逐一判断 2 首先利用条件确定P点的位置 再利用平面向量基本定理确定基底 从而联立方程得t 规范解答 1 选B 对于 因为a与b给定 所以a b一定存在 可表示为c 即c a b 故a b c成立 正确 对于 因为b与c不共线 由平面向量基本定理可知 正确 对于 以a的终点为圆心 以 为半径作圆 这个圆必须和向量 b有交点 这个不一定满足 故 错误 对于 由向量加法的三角形法则 不共线两边的和大于第三边 即必有 b c a 而给定的 和 不一定满足此条件 所以 是假命题 2 因为所以即所以即P为AB的一个三等分点 靠近A点 又因为A M Q三点共线 设所以 又 故解得故t的值是 易错警示 解答本例题 1 有两点容易出错 1 对于 中判断易直接利用平面向量基本定理而不会变换为c a b去判断从而误解 2 对于 判断时易忽视向量加法的几何意义 及平面向量基本定理的理解而误解 互动探究 题 2 中若条件和所求不变 再附加一问 M在AQ的什么位置 如何求解 解析 由 2 的解析及 知 因此点M是AQ的中点 规律方法 应用平面向量基本定理的关键点 1 平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量 2 选定基底后 通过向量的加 减 数乘以及向量平行的充要条件 把相关向量用这一组基底表示出来 3 强调几何性质在向量运算中的作用 用基底表示未知向量 常借助图形的几何性质 如平行 相似等 提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 变式训练 如图 已知 OCB中 A是CB的中点 D是将分成2 1的一个内分点 DC和OA交于点E 设 a b 1 用a和b表示向量 2 若 求实数 的值 解析 1 由题意知 A是BC的中点 且由平行四边形法则 得所以 2a b 2a b b 2a b 2 由题意知 故设因为 2a b a 2 a b 2a b 所以 2 a b x 2a b 因为a与b不共线 由平面向量基本定理 得解得故 加固训练 1 若a与b不共线 已知下列各组向量 a与 2b a b与a b a b与a 2b a b与a b 其中可以作为基底的是 只填序号即可 解析 因为a与b不共线 所以 对于 显然a与 2b不共线 对于 假设a b与a b共线 则存在实数 使a b a b 则 1且 1 由此得 1且 1矛盾 故假设不成立 即a b与a b不共线 同理 对于 a b与a 2b也不共线 对于 a b a b 故a b与a b共线 由基向量的定义知 都可以作为基底 不可以 答案 2 2015 武汉模拟 如图所示 已知 a b c 以a b为基底试表示c 解析 由得即即c b a 考点2平面向量的坐标运算 典例2 1 2015 临沂模拟 在 ABC中 点P在BC上 且 2 点Q是AC的中点 若 4 3 1 5 则等于 A 6 21 B 2 7 C 6 21 D 2 7 2 2013 北京高考 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b R 则 解题提示 1 利用已知求得的坐标即可求的坐标 2 结合图形建立适当的平面直角坐标系 利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解 规范解答 1 选A 如图 1 5 4 3 3 2 1 5 3 2 2 7 3 6 21 2 以向量a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据c a b得 1 3 1 1 6 2 即解得 2 所以 4 答案 4 互动探究 在本例 2 中 试用a c表示b 解析 建立本例 2 规范解答中的平面直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 设b xa yc 则 6 2 x 1 1 y 1 3 即解得故b 4a 2c 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1 向量的坐标运算主要是利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用向量相等则其坐标相同这一原则 通过列方程 组 来进行求解 变式训练 已知向量a 6 4 b 0 2 a b O为坐标原点 若点C在函数y sin的图象上 求实数 的值 解析 因为 a b 6 4 0 2 6 4 2 所以点C的坐标为 6 4 2 又点C在函数y sin的图象上 故4 2 sin 1 所以 加固训练 1 已知点A 2 1 B 0 2 C 2 1 O 0 0 给出下面的结论 直线OC与直线BA平行 其中正确结论的个数是 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 选C 由题意得 2 1 2 1 故 又无公共点 故OC BA 正确 因为故 错误 因为 0 2 故 正确 因为 2 4 0 4 0 故 正确 所以选C 2 已知点A 1 2 B 2 8 以及求点C D的坐标和的坐标 解析 设点C D的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 得 x1 1 y1 2 3 6 1 x2 2 y2 3 6 因为所以有和解得和所以点C D的坐标分别是 0 4 2 0 从而 2 4 考点3平面向量共线的坐标表示及运算知 考情以平面向量的共线为载体考查三角函数问题及利用平面向量共线的坐标运算求参数的范围 是高考考查的一个重要考向 常以选择题 填空题的形式出现 明 角度命题角度1 利用向量共线的坐标运算求三角函数的值或角 典例3 2014 陕西高考 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 解题提示 根据向量平行的坐标表示及三角函数化简即可得解 解析 由a b得sin2 cos2 0 即2sin cos cos2 又0 cos 0 所以2sin cos 可得tan 答案 命题角度2 利用向量共线的坐标运算求参数的值 典例4 2013 陕西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 本题源于教材必修4P101T5 A B C 或D 0 解题提示 利用平面向量共线的坐标表示列方程求解 规范解答 选C 因为a 1 m b m 2 a b 所以1 2 m2 0 即m2 2 故m 悟 技法1 根据向量共线的坐标运算求参数的值 利用向量共线转化为含参数的方程 解方程可求参数 2 利用向量共线的坐标运算求三角函数值 利用向量共线的坐标运算转化为三角方程 再利用三角恒等变换求解 通 一类1 2015 沈阳模拟 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 则锐角 等于 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 选B 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得sin 又 为锐角 所以 45 2 2015 攀枝花模拟 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 A B C 1D 2 解析 选B 因为a b 1 2 1 0 1 2 c 3 4 又 a b c 所以4 1 2 3 0 解得 3 2015 郑州模拟 已知向量 k 12 4 5 k 10 且A B C三点共线 则k的值是 A B C D 解析 选A 4 k 7 2k 2 因为A B C三点共线 所以共线 所以 2 4 k 7 2k 解得k 创新体验3以向量坐标运算为载体的创新问题 创新点拨 高考考情 以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点 综合考查向量与函数等知识 考查学生的应变能力与创新能力 新题快递 1 2015 贵阳模拟 在平面直角坐标系中 若O为坐标原点 则A B C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 使得 1 成立 此时称实数 为 向量关于和的终点共线分解系数 若已知P1 3 1 P2 1 3 P1 P2 P3三点共线且向量与向量a 1 1 共线 则 向量关于和的终点共线分解系数 为 A 3B 3C 1D 1 解析 选D 由与向量a 1 1 共线 可设 t t t 0 由 1 得 t t 3 1 1 1 3 4 1 3 2 所以两式相加得2 2 0 所以 1 2 2015 杭州模拟 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点 它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星 如图所示的正六角星是以原点O为中心 其中x y分别为原点O到两个顶点的向量 若将原点O到正六角星12个顶点的向量 都写成ax by的形式 则a b的最大值为 A 2B 3C 4D 5 解析 选D 欲求a b的最大值 只需考虑图中6个顶点的向量即可 讨论如下 1 因为 x 所以 a b 1 0 2 因为 y 3x 所以 a b 3 1 3 因为 y 2x 所以 a b 2 1 4 因为 y x y x y 2x 2y 3x 所以 a b 3 2 5 因为 y x 所以 a b 1 1 6 因为 y 所以 a b 0 1 所以a b的最大值为3 2 5 3 2013 北京高考 已知点A 1 1 B 3 0 C 2 1 若平面区域D由所有满足 1 2 0 1 的点P组成 则D的面积为 解析 设P x y 则 x 1 y 1 2 1 1 2 所以解得所以即在平面直角坐标系中作出区域D 可求得面积为3 答案 3 备考指导 1 准确转化 解决向量创新问题 一定要读懂题目的本质含义 紧抓题目所给条件进行恰当地转化 2 方法选取 对向量的创新问题 准确转化后 要观察题目特点 合理选取解题的办法 如函数的最值求法 线性规划的可行域 新型概念的融合等