高考数学 4.1 平面向量的概念及其线性运算课件.ppt

第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 向量的有关概念 向量 既有 又有 的量叫向量 模 向量的 叫做向量的模 记作 a 或 零向量 长度等于0的向量 其方向是 记作0 单位向量 长度等于 的向量 大小 方向 长度 任意的 1个单位 平行向量 方向 的非零向量 又叫共线向量 规定 0与任一向量共线 相等向量 长度相等且方向 的向量 相反向量 长度相等且方向 的向量 相同或相反 相同 相反 2 向量的加法与减法 相反向量 三角形 平行四边形 三角形 b a a b c 3 向量的数乘运算及其几何意义 定义 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫向量的数乘 记作 a 它的长度与方向规定如下 a 当 0时 a与a的方向 当 0时 a与a的方向 当 0时 a 0 a 相同 相反 运算律 设 是两个实数 则 a a a b 4 共线向量定理 向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 a a a a b b a 2 必备结论教材提炼记一记 1 若存在非零实数 使得或则 三点共线 2 若存在非零实数 使得 则 A B C 3 三个重要结论 相等向量具有传递性 非零向量的平行具有传递性 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 平行向量与起点无关 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 数形结合法 待定系数法 2 常用思想 数形结合 函数与方程 3 记忆口诀 向量的有关概念 大小相等同方向 就是相等的向量 大小相等反方向 称其互为负向量 向量大小叫做模 模零向量零向量 零向量仍有方向 方向不定好商量 向量的加法 向量可加亦可减 减即加上负向量 首尾衔接向量组 初始末终和向量 起点公共两向量 平行四边形帮忙 公共起点是起点 对角线乃和向量 差向量 起点公共两向量 终点构成差向量 向量求和 非平行的两向量 求和平行四边形 平行向量要求和 需用法则三角形 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 单位向量只与模有关 与方向无关 2 零向量的模等于0 没有方向 3 若两个向量共线 则其方向必定相同 4 若a b b c 则必有a c 5 0 解析 1 正确 由定义可知只要模为1的向量 就叫单位向量 与方向无关 2 错误 零向量的方向是任意的 3 错误 可能相同 也可能相反 若有零向量 则两向量方向不定 4 错误 若b为0 则a不一定与c共线 5 正确 0 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4P78A组T5改编 已知三角形ABC 用与表示BC边上的中线向量 则 解析 答案 2 必修4P92B组T2改编 已知a b是非零向量 若 a b a b 则以a b为邻边构成的四边形的形状为 解析 如图 在以a与b为邻边的四边形中 a b 与 a b 分别为四边形的两条对角线 故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知 以a b为邻边的四边形是矩形 答案 矩形 3 真题小试感悟考题试一试 1 2013 四川高考 如图 在平行四边形ABCD中 对角线AC与BD交于点O 则 解析 在平行四边形ABCD中 而所以故 2 答案 2 2 2013 江苏高考 设D E分别是 ABC的边AB BC上的点 AD AB BE BC 若 1 2为实数 则 1 2的值为 解析 由则 1 2的值为 答案 3 2015 威海模拟 判断下列四个命题 若a b 则a b 若 a b 则a b 若 a b 则a b 若a b 则 a b 其中正确的是 解析 中两向量共线 但这两向量的方向 模均不一定相同 故不一定相等 中两向量的模相等 但方向不一定相同 故这两向量不一定相等 中两向量的模相等 但两向量不一定共线 中两向量相等 则模一定相等 故正确 答案 考点1平面向量的概念 典例1 1 2015 滨州模拟 设a b都是非零向量 下列四个条件中 使成立的充分条件是 A a bB a bC a 2bD a b且 a b 2 2015 洛阳模拟 给出下列命题 非零向量a与b同向是a b的必要不充分条件 若与共线 则A B C三点在同一条直线上 若a与b同向 则a与 b反向 为实数 若 a b 则a与b共线 其中错误命题的序号为 解题提示 1 利用向量相等与单位向量的概念求解 2 利用共线向量定理逐一判断 规范解答 1 选C 由表示与a同向的单位向量 表示与b同向的单位向量 故只要a与b同向即可 观察可知C满足题意 2 对于 因为向量a与b都是非零向量 所以该命题是正确的 对于 因为向量与共线 且有公共点B 所以该结论是正确的 对于 因为b与 b反向 所以该结论正确 对于 当 0时 a与b可为任意向量 不一定共线 所以 不正确 答案 易错警示 解答本例题 1 有两点容易出错 1 不清楚 表示何种向量 不知道是a方向上的单位向量 2 求解时易忽视两向量是同向还是反向 是共线还是相等 互动探究 若本例 2 中的 都为非零实数 该结论是否正确 解析 因为 都为非零实数 则由 a b 得a b 由共线向量定理知该结论成立 规律方法 向量有关概念的关键点 1 向量定义的关键是方向和长度 2 非零共线向量的关键是方向相同或相反 长度没有限制 3 相等向量的关键是方向相同且长度相等 4 单位向量的关键是方向没有限制 但长度都是一个单位长度 5 零向量的关键是方向没有限制 长度是0 规定零向量与任何向量共线 变式训练 下列命题中正确的个数为 有向线段就是向量 向量就是有向线段 向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 向量与向量共线 则A B C D四点共线 如果a b b c 那么a c A 1B 2C 3D 0 解析 选A 不正确 向量可以用有向线段表示 但向量不是有向线段 有向线段也不是向量 不正确 若a与b中有一个为零向量 零向量的方向是不确定的 故两向量方向不一定相同或相反 不正确 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 正确 因为a b b c 由相等向量的概念可知a与c方向相同 大小相等 故a c 加固训练 1 设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 选D 向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 2 2015 南昌模拟 下列关于向量的叙述不正确的是 A 向量的相反向量是B 模长为1的向量是单位向量 其方向是任意的C 若A B C D四点在同一条直线上 且AB CD 则 D 若向量a与b满足关系a b 0 则a与b共线 解析 选C A B显然正确 对于C 如图 A B C D四点满足条件 但 所以C不正确 对于D 由a b 0 得b a 由共线向量定理知 a与b共线 所以D正确 考点2平面向量的线性运算知 考情平面向量的线性运算是高考考查的热点内容 常以选择题 填空题的形式出现 考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则 向量减法的三角形法则及向量的相等 明 角度命题角度1 利用向量加减运算的几何意义求解向量问题 典例2 2014 浙江高考 记设a b为平面向量 则 A min a b a b min a b B min a b a b min a b C max a b 2 a b 2 a 2 b 2D max a b 2 a b 2 a 2 b 2 解题提示 利用向量的平行四边形法则 再比较模的大小 规范解答 选D 作出a b a b a b 由于 a b a b 与 a b 的大小关系与夹角大小有关 故A B错 当a b夹角为锐角时 a b a b 此时 a b 2 a 2 b 2 当a b夹角为钝角时 a b a 2 b 2 当a b时 a b 2 a b 2 a 2 b 2 故选D 命题角度2 利用平面向量线性运算求解向量问题 典例3 2015 临沂模拟 在 ABC中 若D是AB边上一点且则 A B 1C 1D 解题提示 作出图形利用向量线性运算求解 规范解答 选B 如图所示 由三角形法则可知故 1 悟 技法平面向量线性运算的一般思路 1 准确作出图形 确定每一个点的位置 2 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化 转化为要求的向量形式 3 比较 观察可知所求结果 通 一类1 2015 厦门模拟 如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H 则 解析 选C 设a 以OP OQ为邻边作平行四边形 则夹在OP OQ之间的对角线对应的向量即为向量a 因为a和长度相等 方向相同 所以a 故选C 2 2015 九江模拟 已知P A B C是平面内四点 且那么一定有 解析 选D 由题意得即 3 2015 扬州模拟 在 ABC中 N是AC边上一点且P是BN上一点 若则实数m的值是 解析 如图所示 设则 因为所以 所以1 所以m 答案 4 2015 兰州模拟 任意四边形ABCD中 E F分别是AD BC的中点 若则 解析 如图所示 因为E F分别是AD与BC的中点 所以又因为所以 同理 由 得 所以所以 所以 1 答案 1 考点3共线向量定理及其应用 典例4 1 2015 沈阳模拟 已知向量a b c中任意两个都不共线 并且a b与c共线 b c与a共线 那么a b c等于 A aB bC cD 0 2 如图 在 ABC中 D F分别是BC AC的中点 用a b表示向量 求证 B E F三点共线 解题提示 1 利用共线向量定理及向量相等的概念求解 2 利用线性运算几何意义求解 利用共线向量定理得出 规范解答 1 选D 因为a b与c共线 所以a b 1c 又因为b c与a共线 所以b c 2a 由 得 b 1c a 所以b c 1 1 c a 2a 所以即所以a b c c c 0 2 由已知可得 因为所以 a b a b b a b a b a b a 由 b a b a 得 又 有公共点B 故B E F三点共线 规律方法 共线向量定理的应用 1 证明向量共线 对于向量a b 若存在实数 使a b 则a与b共线 2 证明三点共线 若存在实数 使则A B C三点共线 3 求参数的值 利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 组 求参数的值 提醒 证明三点共线时 需说明共线的两向量有公共点 变式训练 设e1 e2是两个不共线向量 已知 2e1 8e2 e1 3e2 2e1 e2 1 求证 A B D三点共线 2 若 3e1 ke2 且B D F三点共线 求k的值 解析 1 由已知得 2e1 e2 e1 3e2 e1 4e2 因为 2e1 8e2 所以 2 又有公共点B 所以A B D三点共线 2 由 1 可知 e1 4e2 且 3e1 ke2 又因为B D F三点共线 所以存在实数 使得 即3e1 ke2 e1 4 e2 得解得k 12 所以k 12 加固训练 1 a b R 是a与b共线的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 当a b R 时 若b 0 则a 0 显然a与b共线 若b 0 则由共线向量定理知a与b共线 反之 若a与b共线 当b 0 而a 0时 a b R 不成立 故选A 2 设两个非零向量a与b不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 解析 1 因为 a b 2a 8b 3 a b 所以 2a 8b 3 a b 5 a b 5 所以 共线 又与有公共点B 所以A B D三点共线 2 因为ka b与a kb共线 所以存在实数 使ka b a kb 所以所以k 1 自我纠错11利用共线向量定理求参数 典例 2015 郑州模拟 已知向量a b不共线 且c a b d a 2 1 b 若c与d同向 则实数 的值为 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 上述解题过程忽视了c与d同向的条件 漏掉k的范围限制从而忽略了 的范围限制导致错解 规避策略 1 准确理解向量共线的概念两个向量共线 是指两个向量的方向相同或相反 因此共线包含两种情况 同向共线或反向共线 在求解相关问题时要注意区分 一般地 若a b 那么a与b共线 当 0时 a与b同向 当 0时 a与b反向 2 找清关系利用向量共线往往需要引入参数 要搞清引入的参数与已知条件中的参数关系 准确理解 从而确定要求的参数 自我矫正 由于c与d同向 所以c kd k 0 于是 a b k a 2 1 b 整理得 a b ka 2 k k b 由于a b不共线 所以有整理得2 2 1 0 所以 1或 又因为k 0 所以 0 故 1 答案 1