2019-2020年小学奥数《几何体侧面展开》经典专题点拨教案.doc

2019-2020年小学奥数几何体侧面展开经典专题点拨教案【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。例如图1.41，将正六棱柱ABCDEFA払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。%【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。例如图1.42，将正三棱锥SABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。例如图1.44，将正三棱台ABCA払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了附送：2019-2020年小学奥数几何公理、定理或性质经典专题点拨教案【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。（2）三角形三内角之和等于180。由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，4=1+2。三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，41，42。【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。用字母表达就是a2+b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。）我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形邻角的和是180。如图1.2，A+B=B+C=C+D=D+A=180。（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）长方形四个角都是直角。（2）长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）菱形的四条边都相等。（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，ACBD，AO=CO，BO=DO，AC平分A和C，BD平分B和D。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）180。（又称“求多边形内角和”的公式。）例如三角形（三边形）的内角和是（3-2）180=180；四边形的内角和是（4-2）180=360。【多边形内角和定理的推论】（1）任意多边形的外角和等于360。这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180，所以，n边形n个外角的和等于n180-（n-2）180=360。（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图1.4，1的两边分别垂直于A的两边，则1+A=180，即1与A互补。又2、3、4的两边也分别垂直于A的两边，则3和A也互补，而2=A，4=A。【圆的一些性质或定理】（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图1.5，图中的AA对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即LAA，AP=PA。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图1.5中，BA与BA的延长线相交，交点M在对称轴L上。（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图1.5中ABC与ABC全等。 【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。中心对称图形具有以下性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如，图1.6中对称点A与A，B与B，C与C，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA，OB=OB，OC=OC。（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。