2019-2020年小学奥数六年级《其他定理或性质》经典专题点拨教案.doc

2019-2020年小学奥数六年级其他定理或性质经典专题点拨教案【算术基本定理】任意一个大于1的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质因数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于1的整数a=p1p2p3pn（p1p2p3pn）其中p1、p2、p3、np都质数；并且若a=q1q2q3qm（q1q2q3qm）其中q1、q2、q3、qm都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，n）当这个整数是质数时是符合定理的特例。上述定理，叫做“算术基本定理”。【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理：定理一 方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形叫做移项。例如，解方程3x=2x+5。解 移项，得3x-2x=5合并同类项，得x=5。定理二 方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。是同解的。【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。图用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图1.7。这些点叫图的顶点，如A、B、C、D；这些线叫图的边，如AB、AC、AD等。点的次-每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图1.7中，A点有五条线与它相连，B点有三条线与它相连，则A点的次为5；B点有三条线与它相连，则B点的次为3。奇点-点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图1.7中的A、B、C、D点，全部都是奇点。偶点-点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。如图1.8中的B点（4次）、D点（2次），都是偶点。一笔画问题-在图1.8中，能否从A点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫做“一笔画问题”（也称“七桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。能一笔画的图形，具有下面两条性质：（1）若一个图形中，奇点的个数不大于2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画成。例如图1.7中，奇点有A、B、C、D四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成的。而图1.8中，奇点只有A、C两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图1.9所示：从A点出发，经1到C，经2到D，经3到B，经4到A，又经5到B，再经6到A，然后经7到C，完成全图。显然，此图的画法并不止于这一种，这只是多种画法中的一种画法。（2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这两个奇点必是起点和终点。例如图1.10中，点A、B、C均为偶点，没有奇点。若从A点出发，按图外箭头所指的方向，经、，便又回到了A点。这样，A点便既是始点又是终点。而图1.8中有A、C两个奇点，按性质（1）中的画法，可从A点出发，到C点结束，A是始点，C是终点。图1.9（也可以从C点出发，到A点结束，C为始点，A为终点。）附送：2019-2020年小学奥数六年级判断题的解答经典专题点拨教案【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被3整除，本来是不太难的问题。但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。若用“筛去（消倍）法”来判断，情况就大不一样了。例如（1）判断76935能否被3整除。先直接筛去能被3整除的6、9、3，剩下的7与5，和为3的倍数，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。（2）判断3165493能否被3整除。先直接筛去3的倍数3、6、9、能整除3165493，或3165493不能被3整除。）【能否被7整除】一个数能否被7整除，只要把这个数的末位数字截去，再从余下的数中，减去这个末位数字的2 倍，如果这时能看出所得的差能被7整除，则原来的数就能被7整除，否则就不能被7整除；若是仍看不出来，就要继续上述过程，直到能清楚作出判断为止。例如，判断133能否被7整除：因为差数7能被7整除，所以7|133。这是什么原因呢？请看下面的算式：1332（13103）2132032=13（21-1）+32=13211332=1373-（13-32）显然，1373中有约数7，它能被7整除，故只要检验后面的（13-32）能否被7整除就可以了。（原理可见第一部分的整除性定理）如果要判断的数的位数很多，那么，将这种做法一直进行下去就是。例如，判断62433能否被7整除：7|42，7|62433这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被11、13、17和19整除，也可用割尾法去判断。【能否被11整除】判断一个数能否被11整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。（1）割尾法。一个数能否被11整除，只要把它的末尾数字截去，从余下的数里减去这个末位数，看所得的差能否被11整除。差能整除的，原来的数就能整除；差不能整除的，原来的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被11整除，就继续上述过程，直到能作出判断为止。例如，判断2629能否被11整除：因为1122，所以112629。之所以能这么判断，原因在于2629=2620+9=26210+9=262（11-1）+9=26211-262+9=26211-（262-9）在26211中有因数11，所以只要看（262-9）的差能否被11整除，就可判断原来的2629能否被11整除。而（262-9）的差是253，253=250+3=2510+3=25（11-1）+3=2511-25+3=2511-（25-3）同样，只要看（25-3）能否被11整除，就会知道253能否被11整除。进而便可知2629能否被11整除了。（2）奇偶位差法。判断一个数能否被11整除，可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和，再求这两个和的差数，若这个差能被11整除，则原来的那个数就能被11整除；否则，原来的数就不能被11整除。例如，判断823724能否被11整除：它的奇位数字之和为4+7+2=13（数位数，从右边个位开始往左数），它的偶位数字的和为2+3+8=13两个和的差数是13-13=0（两数不等时用大数减小数）而 11011823724之所以能这样判断，是因为823，724=8100，000+210，000+31，000+7100+210+4=8（100，001-1）+2（9，999+1）+3（1，001-1）+7（99+1）+2（11-1）+4=8100，001+29，999+31，001+799+211+（2+7+4）-（8+3+2）显然，在前几项中，因数100，001、9，999、1，001、99、11都是11的倍数，故只需检验（2+7+4）-（8+3+2）能否被11整除，就可以作出判断了。（3）分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节，然后把这些节加起来。若所得的和能被11整除，那么这个数就能被11整除；否则，这个数就不能被11整除。在这一情况下，如果仍不能作出判断，那就继续上述过程，直到清楚地作出判断为止。例如，判断762421能否被11整除：这一判断方法的理由，可见下面的算式：762421=7610000+24100+21=76（9999+1）+24（99+1）+21=769999+76+2499+24+21=769999+2499+（76+24+21）在前两项中，因数9999和9都能被11整除，所以只需要检验后面的（76+24+21）能否被11整除了。能整除的原数就能被11整除；不能整除的原数，就不能被11整除。【能否被13整除】一个数能否被13整除，可采用“割尾法”判断：截去末位数字，余下的数加上末位数的4倍。所得的和是13的倍数，则这个数就能被13整除，否则，就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判断，那就继续割尾，直到能作出判断为止。例如，判断364能否被13整除：1352，13364。这一判断的理由，可由下式看出：3644=（3610+4）4=3640+44=36（39+1）+44=3639+36+44=36133+（36+44）前面的36133中，有约数13，所以作出判断时，只需要检验（36+44）是否能被13整除了。【能否被17整除】一个数能否被17整除，同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。不过，具体地做法有所不同。例如，判断731能否被17整除，判断方法如下：1768，17731。这样做的理由，可见下面的算式推导：7315=（7310+1）5=7350+15=73（51-1）+15=7351-73+15=73173-（73-15）由于前面的73173有约数17，故只需检验（73-15）能否被17整除，就知道“7315”能否被17整除。知道“7315”能否被17整除，也就是知道731能否被17整除了（根据整除性定理）。若是“割尾”一次仍不能作出判断，那就依法继续割尾下去，直到能作出判断为止。例如，判断279191能否被17整除， 可以作如下割尾判断：1717，17279191【能否被19整除】一个数能否被19整除，也是可用“割尾法”作巧妙判断的，具体做法如判断475能否被19整除：1957，19475。其中的道理，可见下面的算式推导：4752=（4710+5）2=4720+52=47（19+1）+52=4719+（47+52）最后算式中的4719有约数19，故只需要检验（47+52）能否被19整除，就知道“4752”及“475”能否被19整除了。如果一次“割尾”仍不能作出判断，那就继续“割尾”下去，直至能作出判断为止。例如，判断14785能否被19整除：