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27.2.2 相似三角形的性质一、学习目标：1理解相似三角形的性质；2会利用相似三角形的性质解决简单的问题二、学习重难点：重难点：利用相似三角形的性质解决简单的问题探究案三、教学过程复习巩固(1)什么叫相似三角形？(2)如何判定两个三角形相似？课堂探究知识点一：相似三角形对应线段的比三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？如图，ABCABC，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？归纳总结例题解析例1 如图，在ABC中，AD是BC边上的高，矩形 EFGH内接于ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为12，若BC30 cm，AD10 cm，求矩形EFGH的周长归纳总结小试牛刀1.如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BEEC，BD、AE相交于F点(1)求BEF与AFD的周长之比；(2)若SBEF6cm2，求SAFD. 2.若ABCABC，其面积比为12，则ABC与ABC的相似比为()A12 B.2C14 D.13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，ABC和BDE的面积分别为18和8，DE3，求AC边上的高课堂探究知识点二：相似三角形周长和面积的比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的0米缩短成18米(如图)问题是：它的周长是多少？归纳总结例题解析例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？归纳总结小试牛刀1.如图所示，PNBC，ADBC交PN于E，交BC于D.(1)若APPB12，SABC18，求SAPN；(2)若SAPNS四边形PBCN12，求的值2.如图，已知ABC中，AB5，BC3，AC4，PQAB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上(1)当PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长；(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长随堂检测1.若两个三角形相似，相似比为89，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为cm2.如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为cm.3.如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DEBC.若ADE与ABC的周长之比为23，AD4，则DB.4已知ABCABC，CD是AB边上的中线，CD是AB边上的中线，CD4 cm，CD10 cm，AE是ABC的一条高，AE4.8 cm.求ABC中对应高线AE的长5已知ABCDEF，ABC和DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC5 cm，DF4 cm，求EF和AC的长课堂小结1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3相似三角形的面积的比等于相似比的平方我的收获_参考答案合作探究如图，分别作ABC和 ABC的对应高AD和A D .解： ABCABC， B= B .又 ABD和ABD都是直角三角形， ABD ABD.ADAD=ABAB=k.类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、对应角平分线的比也等于 k.归纳总结相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.例题解析例1解：设HGx cm，则EH2x cm. 易得APEH.AD10 cm，AP(10x) cm.四边形EFGH为矩形，EHBC，AEH ABC APAD=EHBC,即10x10=2x30.解得x=6HG6 cm，EH12 cm.矩形EFGH的周长为36 cm. 小试牛刀1.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解解：(1)在平行四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，BEFAFD.又BEBC，BEF与AFD的周长之比为；(2)由(1)可知BEFDAF，且相似比为，()2，SAFD4SBEF4624cm2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键2.B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方3.解：过点B作BFAC，垂足为点F.ADBC, CEAB，RtADBRtCEB，即，且ABCDBE，EBDCBA, ()2.又DE3，AC4.5.SABCACBF18, BF8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答知识点二：相似三角形周长和面积的比解：将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知DEBC，AB=30 m，BD=18 m，ABC 的周长为80 m，求ADE的周长.DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，ADAB=AEAC=DEBC,由比例的性质可得，AD+AE+DEAB+AC+BC=ADAB, 而ADE 的周长=ADAEDE, ABC的周长=ABACBC，ADE的周长80=301830,ADE 的周长=32 m.例题解析例2解：设ABCA1B1C1，且ABC中的最短边AC9 cm，A1B1C1中的最短边A1C16 cm.则ACA1C1=96=32,ABC和A1B1C1的相似比为32. 设ABC的周长为x cm，则A1B1C1的周长为(60x)cm.x60x=32,解得x36，60x24.ABC的周长为36 cm，A1B1C1的周长为24 cm.小试牛刀1.解：(1)因为PNBC，所以APNB，ANPC，APNABC，所以()2.因为APPB12，所以APAB13.又因为SABC18，所以()2，所以SAPN2；(2)因为PNBC，所以APEB，AEPADB，所以APEABD，所以，()2()2.因为SAPNS四边形PBCN12，所以()2，所以.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方2.解：(1)PQAB，PQCABC，SPQCS四边形PABQ，SPQCSABC14，CPCA2；(2)PQCABC，CQCP.同理可知PQCP，CPCQCPPQCQCPCPCP3CP，C四边形PABQPAABBQPQ(4CP)AB(3CQ)PQ4CP53CPCP12CP，12CP3CP，CP12，CP.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键随堂检测1. 89,2. 253.24.解：ABCABC，CD是AB边上的中线，CD是AB边上的中线，且AE，AE是对应的高线，.AE12 cm.5.解：相似三角形周长的比等于相似比，.EFBC5(cm)同理，ACDF4(cm)EF的长是cm，AC的长是cm.
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