高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用课件新人教版.ppt

1 7定积分的简单应用 第一章导数及其应用 1 理解定积分的几何意义 会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积 2 掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法 3 通过具体实例了解定积分在物理中的应用 会求变速直线运动的路程和变力做功的问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用 答案 1 求由一条曲线y f x 和直线x a x b a b 及y 0所围成的平面图形的面积S 答案 2 求由两条曲线f x 和g x f x g x 直线x a x b a b 所围成平面图形的面积S 1 如图 当f x g x 0时 S 答案 3 当g x f x 0时 同理得S 思考 1 怎样利用定积分求不分割型图形的面积 答案求由曲线围成的面积 要根据图形 确定积分上下限 用定积分来表示面积 然后计算定积分即可 答案 2 当f x 0时 f x 与x轴所围图形的面积怎样表示 答案如图 因为曲边梯形上边界函数为g x 0 下边界函数为f x 所以 4 利用定积分求平面图形面积的步骤 1 画出图形 在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象 2 确定图形范围 通过解方程组求出交点的横坐标 或纵坐标 确定积分上 下限 3 确定被积函数 4 写出平面图形面积的定积分表达式 5 利用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 写出答案 知识点二定积分在物理中的应用 答案 1 在变速直线运动中求路程 位移路程是位移的绝对值之和 从时刻t a到时刻t b所经过的路程s和位移s 分别为 1 若v t 0 则s s 2 若v t 0 则s s 3 若在区间 a c 上v t 0 在区间 c b 上v t 0 则s s 答案 2 定积分在物理中的应用 1 做变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即 2 一物体在恒力F 单位 N 的作用下做直线运动 如果物体沿着与F相同的方向移动了s 单位 m 则力F所做的功为W Fs 而若是变力所做的功W 等于其力函数F x 在位移区间 a b 上的定积分 即W 思考下列判断正确的是 1 路程是标量 位移是矢量 路程和位移是两个不同的概念 1 3 返回 答案 题型探究重点突破 题型一利用定积分求平面图形的面积问题 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形 如图 方法一以x为积分变量 反思与感悟 方法二以y为积分变量 反思与感悟 若以x为积分变量 则被积函数的原函数不易确定 而且计算也比较麻烦 若以y为积分变量 则可以避免这种情况 选取积分变量有时对解题很关键 解析答案 解析答案 解如图所示 设切点A x0 y0 由y 2x得过A点的切线方程为y y0 2x0 x x0 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S 则S S曲边 AOB S ABC 从而切点为A 1 1 切线方程为y 2x 1 题型二运用定积分求解物理问题 例2一点在直线上从时刻t 0 s 开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求 1 此点在t 4s时的位置 2 此点在t 4s时运动的路程 解析答案 反思与感悟 解因为位置决定于位移 所以它是v t 在 0 4 上的定积分 而路程是位移的绝对值之和 所以需要判断在 0 4 上哪些时间段的位移为负 2 v t t2 4t 3 t 1 t 3 在区间 0 1 及 3 4 上 v t 0 在区间 1 3 上 v t 0 解析答案 反思与感悟 该点在t 4s时的路程为 反思与感悟 解决此类问题的一般步骤 1 求出每一时间段上的速度函数 2 根据定积分的物理意义 求出对应时间段上的定积分 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2有一辆汽车以每小时36km的速度沿平直的公路行驶 在B处需要减速停车 设汽车以2m s2的加速度刹车 问 从开始刹车到停车 汽车行驶了多远 解设从开始刹车到停车 汽车经过了ts v0 36km h 10m s v t v0 at 10 2t 令v t 0 解得t 5 所以从开始刹车到停车 汽车行驶的路程为 故从开始刹车到停车 汽车行驶了25m 题型三用定积分解决变力做功问题 解析答案 反思与感悟 例3设有一个长为25cm的弹簧 若加以100N的力 则弹簧伸长到30cm 求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功 解设x表示弹簧伸长的长度 f x 表示加在弹簧上的力 则f x kx 其中常数k为比例系数 因为当f x 100时 x 5 所以k 20 所以f x 20 x 弹簧由25cm伸长到40cm时 弹簧伸长的长度x从0cm变化到15cm 1 根据物理学知识 求出变力f x 的表达式 2 由功的物理意义知 物体在变力f x 的作用下 沿力的方向做直线运动 使物体由一个位置移到另一个位置 因此 求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3如图所示 设气缸内活塞一侧存在一定量气体 气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离 若气体体积由V1变为V2 求气体压力所做的功 解由物理学知识知 气体膨胀为等温过程 记L1 L2分别表示活塞的初始位置和终止位置 所以气体体积由V1变为V2 气体压力所做的功为C lnV2 lnV1 解析答案 用定积分求平面图形面积时 因对图形分割不当致误 例4求由抛物线y2 8x y 0 与直线x y 6 0及y 0所围成图形的面积 返回 防范措施 易错易混 错解由题意 作出图形如图 解析答案 所以抛物线y2 8x y 0 与直线x y 6 0的交点坐标为 2 4 防范措施 上述S显然不是所求图形的面积 解析答案 防范措施 防范措施 合理划分积分上 下限及正确选择积分变量 最好结合图形进行处理 返回 防范措施 当堂检测 1 2 3 4 5 1 在下面所给图形的面积S及相应表达式中 正确的有 1 2 3 4 5 解析答案 A B C D 1 2 3 4 5 和 正确 故选D 答案D 1 2 3 4 5 B 解析答案 1 2 3 4 5 3 一列车沿直线轨道前进 刹车后列车速度v t 27 0 9t 则列车刹车后前进多少米才能停车 A 405B 540C 810D 945 解析答案 A 解析停车时v t 0 由27 0 9t 0 得t 30 1 2 3 4 5 解析答案 4 由曲线y x2 4与直线y 5x x 0 x 4所围成平面图形的面积是 解析由图形可得 1 2 3 4 5 解析答案 5 一个弹簧压缩xcm可产生4xN的力 把它从自然长度压缩到比自然长度短5cm 求弹簧克服弹力所做的功 解设F x kx 弹簧压缩xcm可产生4xN的力 k 4 弹簧克服弹力所做的功为 课堂小结 1 利用定积分求平面图形面积的一般步骤 1 在平面直角坐标系中画出图形 2 通过解方程求出交点坐标 3 写出平面图形面积的定积分表达式 当被求平面区域较复杂时 可分割求和 4 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 2 路程问题 1 用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时 将物理问题转化为数学问题是关键 返回 2 路程是位移的绝对值之和 因此在求路程时 要先判断速度在区间内是否恒正 若符号不定 应求出使速度恒正或恒负的区间 然后分别计算 3 变力做功问题 1 变力做功问题 首先要将变力用其方向上的位移表示出来 这是关键一步 2 根据变力做功的公式 将其转化为求定积分的问题