高中数学 第二章 圆锥曲线与方程课件 新人教版选修2-1.ppt

阶段复习课第二课 答案速填 a b 0 PF1 PF2 2a 2a0 b 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 类型一圆锥曲线的定义及应用 回归定义 解题的三点应用应用一 在求轨迹方程时 若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义 则根据圆锥曲线的定义 写出所求的轨迹方程 应用二 涉及椭圆 双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时 常用定义结合解三角形的知识来解决 应用三 在求有关抛物线的最值问题时 常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离 结合几何图形 利用几何意义去解决 典例1 2013 合肥高二检测 双曲线16x2 9y2 144的左 右两焦点分别为F1 F2 点P在双曲线上 且 PF1 PF2 64 求 PF1F2的面积 解析 双曲线方程16x2 9y2 144化简为即a2 9 b2 16 c2 25 解得a 3 c 5 F1 5 0 F2 5 0 设 PF1 m PF2 n 由双曲线的定义知 m n 2a 6 又已知m n 64 在 PF1F2中 由余弦定理知cos F1PF2 F1PF2 60 PF1 PF2 sin F1PF2 m n sin60 16 PF1F2的面积为16 类型二圆锥曲线的方程求方程的常用方法 待定系数法 1 2 待定系数法的基本步骤 定位置 设方程 求参数 得方程 3 几点说明 当焦点位置不确定时 要分情况讨论 也可以设为一般形式 椭圆方程为Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 双曲线方程为Ax2 By2 1 AB0 b 0 共渐近线的双曲线方程可设为 0 已知所求双曲线为等轴双曲线 其方程可设为x2 y2 0 典例2 已知双曲线与椭圆x2 4y2 64共焦点 它的一条渐近线方程为x y 0 求双曲线的方程 解析 方法一 椭圆x2 4y2 64 即其焦点是 4 0 设双曲线方程为 a 0 b 0 其渐近线方程是y x 又 双曲线的一条渐近线方程为x y 0 又由a2 b2 c2 48 解得a2 36 b2 12 所求双曲线方程为方法二 由于双曲线的一条渐近线方程为x y 0 则另一条渐近线方程为x y 0 结合已知可设双曲线方程为x2 3y2 0 即 由椭圆方程知c2 a2 b2 64 16 48 双曲线与椭圆共焦点 则 48 36 故所求双曲线方程为 方法三 由双曲线与椭圆共焦点 可设双曲线方程为 16 64 双曲线的一条渐近线方程为x y 0 即y x 28 故所求双曲线方程为 类型三圆锥曲线的性质及应用1 圆锥曲线的主要性质圆锥曲线的主要性质主要包括范围 对称性 焦点 顶点 长短轴 椭圆 实虚轴 双曲线 渐近线 双曲线 离心率和准线 抛物线 2 三法 应对离心率 典例3 设双曲线 a 0 b 0 的右焦点为F 直线l x c为双曲线的半焦距 与两条渐近线交于P Q两点 如果 PQF是直角三角形 则双曲线的离心率e 解析 如图所示 设l与x轴交于M点 PQF是直角三角形 由双曲线的对称性可知 PF QF PF QF MF PM 解方程组结合图形可得 PM 又 MF OF OM c ab c2 a2 b2 a b 故答案 类型四直线与圆锥曲线1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 从几何的角度看 直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类 无公共点 仅有一个公共点及有两个相异的公共点 其中 直线与圆锥曲线仅有一个公共点 对于椭圆 表示直线与其相切 对于双曲线 表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行 对于抛物线 表示与其相切或直线与其对称轴平行 2 从代数的角度看 可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组 消元后利用所得方程的根的情况来判断 2 相交弦长设弦AB端点的坐标为A x1 y1 B x2 y2 直线AB的斜率为k 则弦长 AB 求弦长时 一般先设出两个端点A x1 y1 B x2 y2 其中的四个参数x1 y1 x2 y2一般无需求出 而是应用根与系数的关系来解决 3 三法应对 中点弦 典例4 2013 大庆高二检测 椭圆 a b 0 的一个顶点为A 0 2 离心率 1 求椭圆的方程 2 直线l与椭圆相交于不同的两点M N且P 2 1 为MN中点 求直线l的方程 解析 1 由已知得又因为a2 b2 c2 解得所以椭圆的方程为 2 设M x1 y1 N x2 y2 把M N代入椭圆方程得 4x12 12y12 48 4x22 12y22 48 得 4 x1 x2 x1 x2 12 y1 y2 y1 y2 0 又因为P 2 1 为MN的中点 上式化为2 3 0 所以kMN 即kl 所以直线l的方程为y 1 x 2 即2x 3y 7 0 圆锥曲线中的最值最值问题的常见解法圆锥曲线的参数范围和最值问题属同一类问题 解法是统一的 主要有几何法与代数法 其中包括数形结合法 函数法 变量代换法 不等式 组 法 三角换元法等 主要考查观察 分析 综合 构造 创新等方面的综合思维能力 典例 2013 山西师大附中高二检测 设椭圆C a b 0 的离心率e 右焦点到直线的距离为O为坐标原点 1 求椭圆C的方程 2 过点O作两条互相垂直的射线 与椭圆C分别交于A B两点 证明点O到直线AB的距离为定值 并求弦AB的最小值 解析 1 由得即a 2c b c 由右焦点到直线的距离为得 解得a 2 b 所以椭圆C的方程为 2 当AB的斜率不存在时 可令直线AB的方程为x t OA OB A t t 或 t t 代入并解得t 此时O到直线AB的距离为 AB 2t 当AB的斜率存在时 设A x1 y1 B x2 y2 设直线AB的方程为y kx m 与椭圆联立消去y得3x2 4 k2x2 2kmx m2 12 0 x1 x2 x1x2 OA OB x1x2 y1y2 0 x1x2 kx1 m kx2 m 0 即 k2 1 x1x2 km x1 x2 m2 0 k2 1 m2 0 整理得7m2 12 k2 1 所以O到直线AB的距离综上 O到直线AB的距离为定值 OA OB OA2 OB2 AB2 2OA OB 当且仅当OA OB时取 由d AB OA OB得d AB OA OB AB 2d 所以由上可知弦AB的长度的最小值是 轨迹问题求轨迹问题的六种常用方法 1 直接法 根据形成轨迹的几何条件和图形性质 直接写出所求动点坐标满足的关系 即题中有明显等量关系的或者可以用平面几何知识推出等量关系的 这时只要将这种关系 翻译 成含x y的等式就得到曲线的轨迹方程 由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤 也不需要特殊技巧 故称之为直接法 2 定义法 如果动点的轨迹满足已知曲线的定义 如圆 椭圆 双曲线 抛物线等 这时可以根据轨迹的定义直接写出轨迹方程 3 待定系数法 根据条件可以确定曲线的类型 这时可以先设出其方程形式 再根据条件确定待定的系数 即根据题意建立方程或方程组 解方程或方程组即可 4 相关点法 代点法 如果所求动点是由另外一个动点的运动引起的 而另外一个动点又在一条已知曲线上运动 这时通常是设法用所求动点的坐标表示已知曲线上的动点的坐标 再将它代入已知曲线的方程即可 5 参数法 如果难以直接找到动点坐标之间的关系 可以借助中间变量 即利用参数建立起动点坐标之间的关系 然后消去参数得到曲线的方程 这种方法的关键是如何选择恰当的参数和如何消去参数 解题的一般步骤为 引入参数 建立参数方程 消去参数 注意等价性 得到一个等价的普通方程 6 交轨法 如果要求两条动曲线交点的轨迹方程 这时一般是通过联立动曲线的方程构成方程组 通过解方程组得到交点的坐标 含变量参数 再消去参数求出所求交点的轨迹方程 这种方法经常与参数法并用 典例 已知两同心圆的半径分别为5和4 AB为小圆的直径 求以大圆的切线为准线且过A B两点的抛物线的焦点的轨迹方程 解析 以AB所在直线为x轴 线段AB的中点为坐标原点 建立平面直角坐标系 设大圆的切线为l 抛物线的焦点为F 过点A B O分别作l的垂线 垂足分别为点A1 B1 O1 由抛物线定义得 AF AA1 BF BB1 又由梯形中位线定理 得 AA1 BB1 2 OO1 AF BF 2 OO1 10 点F的轨迹是以A B为焦点 长轴长为10的椭圆 由2a 10 2c 8 得a 5 c 4 轨迹方程为又由于l与AB不能垂直 其轨迹必须除去 5 0 两点 即y 0 因此 所求轨迹方程为 y 0 分类讨论思想分类讨论思想的认识及其应用分类讨论思想 实际上是 化整为零 各个击破 再积零为整 的策略 分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则 方法和技巧 做到确定对象的全体 明确分类的标准 不重不漏地讨论 典例 椭圆的中心是坐标原点 长轴在x轴上 离心率e 已知点P 0 到这个椭圆上点的最远距离为 求这个椭圆方程 并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标 解析 设椭圆方程为 a b 0 e c2 a2 由a2 b2 c2得a 2b 故椭圆方程可化为 b 0 设M x y 是椭圆上任意一点 则x2 4b2 4y2 PM 2 x2 y 2 4b2 4y2 y2 3y 3y2 3y 4b2 3 y 2 3 4b2 b y b 讨论 与 b b 间的关系 若b 则当y 时 b 1 若0 b 则当y b时 PM max b b 与b 矛盾 综上所述b 1 故所求椭圆方程为 y2 1 PM 时 y x 椭圆上到P点的距离为的点有两个 分别为 跟踪训练 1 2013 大理高二检测 椭圆与双曲线有相同的焦点 则a的值是 A B 1或 2C 1或D 1 解析 选D 由条件可知 两条曲线的焦点在x轴上且a 0 4 a2 a 2 即a2 a 2 0 解得a 1 2 舍 2 2013 安阳高二检测 以椭圆的左焦点为焦点 以坐标原点为顶点的抛物线方程为 A y2 4xB y2 2xC y2 8xD y2 x 解析 选A 椭圆中 a2 b2 1 左焦点为 1 0 故抛物线方程为y2 4x 3 已知双曲线 mn 0 的离心率为2 有一个焦点恰好是抛物线y2 4x的焦点 则此双曲线的渐近线方程是 A x y 0B x y 0C 3x y 0D x 3y 0 解析 选A 由条件可知 双曲线的焦点在x轴上 由得所以双曲线的渐近线方程为y x 即x y 0 4 2013 陕西高考 双曲线的离心率为则m等于 解析 由解得m 9 答案 9 5 直线l y kx 1与曲线C y2 1交于M N两点 当 MN 时 则直线l的方程为 解析 由消去y得 1 2k2 x2 4kx 0 解得x1 0 x2 x1 x2分别为M N的横坐标 由 MN x1 x2 解得k 1 代入y kx 1得x y 1 0或x y 1 0 综上所述 所求直线方程是x y 1 0或x y 1 0 答案 x y 1 0或x y 1 0 6 2013 温州高二检测 设A x1 y1 B x2 y2 是椭圆 a b 0 上的两点 满足椭圆的离心率e 短轴长为2 O为坐标原点 1 求椭圆的方程 2 若直线AB过椭圆的焦点F 0 c c为半焦距 求直线AB的斜率k的值 解析 1 由已知 2b 2 b 1 c a 代入a2 b2 c2 解得a 2 c b 1 椭圆方程为 x2 1 2 焦点F 0 直线AB的方程为y kx 代入椭圆方程整理得 k2 4 x2 2kx 1 0 0且y1y2 kx1 kx2 k2x1x2 k x1 x2 3 k2 k 3 解得k2 2 k 直线AB的斜率k为