高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教版选修2-2.ppt

1 3 2函数的极值与导数 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一函数极值的概念 答案 f x 0 1 极小值点与极小值如图 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 f x 0 答案 f x 0 2 极大值点与极大值如图 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b的左侧 右侧 则把点b叫做函数的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 统称为极值点 和统称为极值 f x 0 y f x 极大值点 极小值点 极大值 极小值 思考 1 可导函数f x 在点x0处取极值的充要条件是什么 答案 答案可导函数的极值点是导数为零的点 但是导数为零的点不一定是极值点 即 函数y f x 在一点的导数值为零是函数y f x 在这点取极值的必要条件 而非充分条件 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧和右侧f x 符号不同 如果在x0的两侧f x 符号相同 则x0不是f x 的极值点 2 函数在某个区间上有多个极值点 那么一定既有极大值也有极小值吗 答案不一定 知识点二求可导函数f x 的极值方法与步骤 答案 极大值 1 求函数y f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 2 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求f x 的拐点 即求方程的根 3 利用f x 与f x 随x的变化情况表 根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 极小值 f x 0 思考可导函数f x 若存在极值点x0 则x0能否为相应区间的端点吗 答案不能 返回 答案 题型探究重点突破 题型一求函数的极值 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 解由题意可知f x x2 4 解方程x2 4 0 得x1 2 x2 2 由f x 0得x 2或x 2 由f x 0得 2 x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 反思与感悟 反思与感悟 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间 并列成表格 检测f x 在方程根左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 跟踪训练1求下列函数的极值 1 y 2x3 6x2 18x 3 解析答案 解函数的定义域为R y 6x2 12x 18 6 x 3 x 1 令y 0 得x 3或x 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 从上表中可以看出 当x 3时 函数取得极大值 且y极大值 57 当x 1时 函数取得极小值 且y极小值 7 解析答案 解函数的定义域为 0 0 令y 0 得x 2或x 2 当x 2时 y 0 当 2 x 0时 y 0 即x 2时 y取得极大值 且极大值为 8 当0 x 2时 y 0 当x 2时 y 0 即x 2时 y取得极小值 且极小值为8 题型二利用函数极值确定参数的取值范围 或值 解析答案 例2已知函数f x 6lnx ax2 8x b a b为常数 且x 3为f x 的一个极值点 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间 解函数f x 的定义域为 0 由 1 知f x 6lnx x2 8x b 解析答案 由f x 0可得x 3或0 x 1 由f x 0可得1 x 3 x 0舍去 函数f x 的单调递增区间为 0 1 和 3 单调递减区间为 1 3 3 若y f x 的图象与x轴正半轴有且只有3个交点 求实数b的取值范围 解析答案 反思与感悟 解由 2 可知函数f x 在 0 1 上单调递增 在 1 3 上单调递减 在 3 上单调递增 且当x 1和x 3时 f x 0 f x 的极大值为f 1 6ln1 1 8 b b 7 f x 的极小值为f 3 6ln3 9 24 b 6ln3 b 15 当x充分接近0时 f x 0 当x充分大时 f x 0 要使f x 的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点 b的取值范围是7 b 15 6ln3 解决参数问题时 要结合函数的图象 同时准确理解函数极值的应用 反思与感悟 解析答案 解因为a 0 所以 f x x3 bx2 cx d在 内无极值点 等价于 f x ax2 2bx c 0在 内恒成立 由f x 9x 0 即ax2 2b 9 x c 0 的两实数根分别为1 4 所以对于一元二次方程ax2 2bx c 0 2b 2 4ac 9 a 1 a 9 不等式ax2 2bx c 0在 内恒成立 易验证a 1与a 9均满足题意 故a的取值范围是 1 9 题型三函数极值的综合应用 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 则函数y g t 的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点 即a 2 使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点 所以实数a的取值范围为 2 求出函数的所有极值 有利于我们整体把握函数图象的特征 也就为我们证明有关不等式 解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据 因而函数的极值在中学数学中应用广泛 是高考命题的热点 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知函数f x x3 ax2 b a b R 1 求函数f x 的单调递增区间 解析答案 2 若对任意a 3 4 函数f x 在R上都有三个零点 求实数b的取值范围 解析答案 所以实数b的取值范围为 4 0 解析答案 因忽视对所得参数进行检验而致误 例4若函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取得极值10 试求a b的值 返回 防范措施 易错易混 错解由导数公式表和求导法则得 f x 3x2 2ax b 解析答案 错因分析由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件 而非充分条件 因此 本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错 防范措施 正解由导数公式表和求导法则得 f x 3x2 2ax b 但由于当a 3 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 故f x 在R上单调递增 不可能在x 1处取得极值 解析答案 防范措施 故a b的值分别为4 11 防范措施 根据极值条件求参数的值的问题中 在得到参数的两组解后 应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验 考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值 从而进行取舍 返回 防范措施 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知函数f x 2x3 ax2 36x 24在x 2处有极值 则该函数的一个递增区间是 A 2 3 B 3 C 2 D 3 B 解析答案 解析 f x 6x2 2ax 36 且在x 2处有极值 f 2 0 24 4a 36 0 a 15 f x 6x2 30 x 36 6 x 2 x 3 由f x 0得x 2或x 3 1 2 3 4 5 2 下列关于函数的极值的说法正确的是 A 导数值为0的点一定是函数的极值点B 函数的极小值一定小于它的极大值C 函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内不是单调函数 D 解析答案 解析由极值的概念可知只有D正确 1 2 3 4 5 3 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点B 有三个极大值点 两个极小值点C 有两个极大值点 两个极小值点D 有四个极大值点 无极小值点 解析答案 C 解析在x x0的两侧 f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图象易知有两个极大值点 两个极小值点 1 2 3 4 5 解析答案 4 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 A 1 a 2B 3 a 6C a 1或a 2D a 3或a 6 D 解析f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 那么 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 1 2 3 4 5 解析答案 5 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 则实数a的值为 9 课堂小结 返回 1 求函数极值的基本步骤 1 求函数定义域 2 求f x 3 解f x 0 4 列表 f x f x 随x的变化情况 5 下结论 2 函数的极值的应用 1 确定参数的值 一般用待定系数法 2 判断方程根的情况时 利用导数研究函数单调性 极值 画出函数大致图象 利用数形结合思想来讨论根的情况