高中数学 3.1.1 角的概念的推广课件 湘教版必修2.ppt

高中数学 必修2 湘教版 第3章三角函数3 1弧度制与任意角3 1 1角的概念的推广 学习目标 1 掌握正角 负角和零角的概念 理解任意角的意义 2 熟练掌握象限角 终边相同的角的概念 会用集合符号表示这些角 预习导学 知识链接 1 手表慢了5分钟 如何校准 手表快了1 5小时 又如何校准 答可将分针顺时针方向旋转30 可将时针逆时针方向旋转45 预习导学 2 在初中角是如何定义的 答定义1 有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角 定义2 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角 3 初中所学角的范围是什么 答角的范围是 0 360 预习导学 预习导引 1 角的概念 1 角的定义 角可以看成平面内绕着端点从一个位置到另一个位置所成的图形 2 角的表示方法 常用大写字母等表示 也可以用希腊字母 等表示 特别是当角作为变量时 常用字母表示 预习导学 一条射线 旋转 A B C x 3 角的分类 一条射线绕着端点以的旋转为正向 所成的角称为 用来表示 旋转所成的角称为 用负的角度来表示 不旋转所成的角称为 用表示 预习导学 逆时针方向 正角 正的角度 顺时针方向 负角 零角 0 2 象限角角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边 除端点外 在第几象限 就说这个角是 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 3 终边相同的角设 AOB 则所有以OA为始边 OB为终边的角都是 与的和 组成集合S k 360 k Z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与的和 预习导学 第几象限角 整数个周角 整数个周角 课堂讲义 要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中 0 90 的角是第一象限角 第二象限角大于第一象限角 钝角都是第二象限角 小于90 的角都是锐角 其中错误说法的序号为 答案 课堂讲义 解析 0 90 的角 是指 0 90 0 角不属于任何象限 所以 不正确 120 是第二象限角 390 是第一象限角 显然390 120 所以 不正确 钝角 的范围是90 180 显然是第二象限角 所以 正确 锐角 的范围是0 90 小于90 的角也可以是零角或负角 所以 不正确 课堂讲义 规律方法判断说法错误 只需举一个反例即可 解决本题关键在于正确理解各种角的定义 随着角的概念的推广 对角的认识不能再停留在初中阶段 否则判断容易错误 课堂讲义 跟踪演练1A 小于90 的角 B 第一象限角 则A B A 锐角 B 小于90 的角 C 第一象限角 D 以上都不对答案D解析小于90 的角由锐角 零角 负角组成 而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角 所以A B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合 故选D 课堂讲义 要点二象限角的判定例2在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判定它们是第几象限角 1 150 2 650 3 950 15 解 1 因为 150 360 210 所以在0 360 范围内 与 150 角终边相同的角是210 角 它是第三象限角 课堂讲义 2 因为650 360 290 所以在0 360 范围内 与650 角终边相同的角是290 角 它是第四象限角 3 因为 950 15 3 360 129 45 所以在0 360 范围内 与 950 15 角终边相同的角是129 45 角 它是第二象限角 规律方法本题要求在0 360 范围内 找出与已知角终边相同的角 并判断其为第几象限角 这是为以后证明恒等式 化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础 课堂讲义 跟踪演练2给出下列四个命题 75 角是第四象限角 225 角是第三象限角 475 角是第二象限角 315 是第一象限角 其中真命题有 A 1个B 2个C 3个D 4个答案D 课堂讲义 解析对于 如图1所示 75 角是第四象限角 对于 如图2所示 225 角是第三象限角 对于 如图3所示 475 角是第二象限角 对于 如图4所示 315 角是第一象限角 课堂讲义 要点三终边相同的角的应用例3在与角10030 终边相同的角中 求满足下列条件的角 1 最大的负角 2 最小的正角 3 360 720 的角 解 1 与10030 终边相同的角的一般形式为 k 360 10030 k Z 由 360 k 360 10030 0 得 10390 k 360 10030 解得k 28 故所求的最大负角为 50 课堂讲义 2 由0 k 360 10030 360 得 10030 k 360 9670 解得k 27 故所求的最小正角为 310 3 由360 k 360 10030 720 得 9670 k 360 9310 解得k 26 故所求的角为 670 规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角 其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式 再依条件构建不等式求出k的值 课堂讲义 跟踪演练3写出与 1910 终边相同的角的集合 并把集合中适合不等式 720 360 的元素 写出来 课堂讲义 k 4时 4 360 1910 470 k 5时 5 360 1910 110 k 6时 6 360 1910 250 课堂讲义 要点四区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合 解设终边落在阴影部分的角为 角 的集合由两部分组成 k 360 30 k 360 105 k Z 课堂讲义 k 360 210 k 360 285 k Z 角 的集合应当是集合 与 的并集 k 360 30 k 360 105 k Z k 360 210 k 360 285 k Z 2k 180 30 2k 180 105 k Z 2k 1 180 30 2k 1 180 105 k Z 2k 180 30 2k 180 105 或 2k 1 180 30 2k 1 180 105 k Z n 180 30 n 180 105 n Z 课堂讲义 规律方法解答此类题目应先在0 360 上写出角的集合 再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合 如果集合能化简的还要化成最简 本题还要注意实线边界与虚线边界的差异 课堂讲义 跟踪演练4如图 若角 的终边落在函数y x x 0 与y x x 0 的图象所夹的区域 即图中阴影部分 不包括边界 内 求角 的集合 课堂讲义 解终边落在函数y x x 0 的图象上的角的集合是 45 k 360 k Z 终边落在函数y x x 0 的图象上的角的集合是 135 k 360 k Z 所以所求角的集合是 45 k 360 135 k 360 k Z 当堂检测 1 361 的终边落在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限答案D 当堂检测 2 集合A k 90 36 k Z B 180 180 则A B等于 A 36 54 B 126 144 C 126 36 54 144 D 126 54 答案C解析令 180 k 90 36 180 则 144 k 90 216 当k 1 0 1 2时 不等式均成立 所对应的角分别为 126 36 54 144 故选C 当堂检测 3 若角 满足180 360 角5 与 有相同的始边 且又有相同的终边 那么角 答案270 解析由于5 与 的始边和终边相同 所以这两角的差应是360 的整数倍 即5 4 k 360 又180 360 令k 3 得 270 当堂检测 4 写出终边落在坐标轴上的角的集合S 解终边落在x轴上的角的集合 S1 k 180 k Z 终边落在y轴上的角的集合 S2 k 180 90 k Z 终边落在坐标轴上的角的集合 S S1 S2 k 180 k Z k 180 90 k Z 2k 90 k Z 2k 1 90 k Z n 90 n Z 1 对角的理解 初中阶段是以 静止 的眼光看 高中阶段应用 运动 的观点下定义 理解这一概念时 要注意 旋转方向 决定角的 正负 旋转幅度 决定角的 绝对值大小 当堂检测 2 关于终边相同角的认识一般地 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合S k 360 k Z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 注意 1 为任意角 2 k 360 与 之间是 号 k 360 可理解为k 360 3 相等的角终边一定相同 终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无数多个 它们相差360 的整数倍 4 k Z这一条件不能少 当堂检测