高中数学 2.5 第2课时函数的奇偶性课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数 第二章 第二章 5简单的幂函数 第2课时函数的奇偶性 大自然是一个真正的设计师 它用对称的方法创造了千百万种不同的生命 被誉为 上海之鸟 的浦东国际机场的设计模型 是一只硕大无比 展开双翅的海鸥 它的两翼呈对称状 看上去舒展优美 它象征着浦东将展翅高飞 飞向更高 更广阔的天地 创造更新 更宏伟的业绩 一些函数的图像也有着如此美妙的对称性 那么这种对称性体现了函数的什么性质呢 奇函数与偶函数 1 一般地 图像关于 对称的函数叫作奇函数 在奇函数f x 中 f x 与f x 绝对值 符号 即f x 反之 满足 的函数y f x 一定是奇函数 2 一般地 图像关于 对称的函数叫作偶函数 在偶函数f x 中 f x 与f x 的值 即f x 反之 满足 的函数y f x 一定是偶函数 3 当函数f x 是奇函数或偶函数时 称函数f x 具有 原点 相等 相反 f x f x f x y轴 相等 f x f x f x 奇偶性 答案 C 解析 f x 的定义域不关于原点对称 函数不具有奇偶性 是非奇非偶函数 2 设函数f x x x 定义在 上 则f x A 既是偶函数 又是减函数B 既是奇函数 又是减函数C 既是偶函数 又是增函数D 既是奇函数 又是增函数 答案 D 4 如图给出奇函数y f x 的局部图像 则f 2 的值是 5 已知偶函数f x 满足f x 2 xf x x R 则f 1 答案 0 解析 令x 1 则f 1 2 f 1 即f 1 f 1 又f x 为偶函数 所以f 1 f 1 所以f 1 f 1 即f 1 0 函数奇偶性的判定 规律总结 函数奇偶性的方法判断 1 定义法 注意 利用定义判断函数奇偶性时 首先应看函数的定义域是否关于原点对称 2 在选择 填空题中 也可以用如下性质判断函数奇偶性 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 解析 1 f x 的定义域为 2 不关于原点对称 因此 函数f x 为非奇非偶函数 2 f x 的定义域为 1 1 且f x 0 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 且f 1 f 1 因此 函数f x 既是奇函数 又是偶函数 分段函数奇偶性的判定 规律总结 1 判断分段函数的奇偶性 必须分段考虑 2 若分段函数是奇函数或偶函数 常用含绝对值符号的函数表达式来表示 解析 函数f x 的定义域为R 关于原点对称 当x 0时 x0 f x x 2 2 x2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 即x 0时 f x f x 综上所述 x R 有f x f x 故该函数为奇函数 函数奇偶性的概念与图像 下面四个结论 偶函数的图像一定与y轴相交 奇函数的图像一定经过原点 偶函数的图像一定关于y轴对称 既是奇函数又是偶函数的函数一定是y 0 x R 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 规范解答 可结合我们已学过的函数及奇 偶函数的图像特征来判断 偶函数的图像一定关于y轴对称 但不一定与y轴相交 如函数y x0 y x 2都是偶函数 但它们的图像不与y轴相交 故 错误 正确 奇函数的图像关于原点对称 但不一定过原点 如y x 1 故 错误 若函数y f x 既是奇函数又是偶函数 由定义可得f x 0 但未必x R 如x 1 1 只要其定义域关于原点对称即可 故 错误 所以四个结论中只有 正确 故选A 答案 A 已知函数f x x R 是偶函数 则下列各点中必在函数y f x 图像上的是 A a f a B a f a C a f a D a f a 答案 A 解析 因为函数f x x R 是偶函数 所以 若点 a f a 在函数y f x 的图像上 由偶函数的图像关于y轴对称可知 点 a f a 关于y轴的对称点 a f a 必在函数图像上 函数的奇偶性与单调性的综合应用 设定义在 2 2 上的奇函数f x 在区间 0 2 上是减少的 若f m f m 1 0 求实数m的取值范围 规律总结 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件 把已知不等式转化成f x1 f x2 或f x1 f x2 的形式 再根据奇函数在对称区间上单调性一致 偶函数的单调性相反 列出不等式或不等式组 同时不能漏掉函数自身定义域对参数的限制 定义在R上的偶函数f x 在x 0上是增函数 则 A f 3 f 4 f B f f 4 f 3 C f 3 f f 4 D f 4 f f 3 答案 C 解析 f x 在实数集R上是偶函数 f f f 4 f 4 而3 4 且f x 在 0 上是增函数 f 3 f f 4 即f 3 f f 4 规律总结 判断函数奇偶性的步骤 1 求函数定义域 若定义域关于原点对称 执行 2 否则下结论 函数为非奇非偶函数 2 判定f x 与f x 关系