高中数学 2.6平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4.ppt

6平面向量数量积的坐标表示 1 平面向量的数量积 模 夹角 垂直的坐标表示 1 数量积的坐标表示 设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 2 模 夹角 垂直的坐标表示 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 2 直线的方向向量 1 定义 与直线l 的非零向量m称为直线l的方向向量 2 性质 给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m 共线 1 k 1 判一判 正确的打 错误的打 1 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 2 两个向量a与b的夹角公式适用于任何向量a b 3 两个向量的数量积小于零 两个向量的夹角一定为钝角 4 斜率为2的直线l的一个方向向量为 2 1 解析 1 1 正确 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 2 错误 该公式适用于非零向量a与b 3 错误 两个向量的夹角为180 时 两个向量的数量积也小于零 4 错误 一个方向向量为 1 2 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知a 则 a 2 已知a 2 1 b 1 2 则向量a与b的关系为 3 已知a 1 3 b 2 5 则a b 4 已知a 3 0 b 5 5 则a与b的夹角为 解析 1 a 答案 2 2 a b 2 1 2 0 所以a b 答案 a b 3 a b 1 2 3 5 17 答案 17 4 设两向量a与b的夹角为 则cos 又 0 所以 答案 要点探究 知识点1数量积 模 夹角 垂直的坐标表示1 数量积的坐标表示的实质与特点 1 实质 是将向量运算转化为代数运算 它使得数量积的计算更为方便 简单 2 特点 等于两个向量相应坐标乘积的和 2 向量模的坐标运算的实质a x y 则在平面直角坐标系中 一定存在点A x y 使得 a x y 所以 a 即 a 为点A到原点的距离 3 向量的夹角的坐标表示 1 来源 数量积公式的一个变形 2 适用范围 由向量坐标计算夹角的一个公式 仅适用于两个非零向量 3 夹角的取值范围的确定 x1x2 y1y2的取值符号确定 角的取值范围 其中当x1x2 y1y2 0时 0 当x1x2 y1y2 0时 当x1x2 y1y2 0时 知识拓展 1 投影的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 夹角为 则向量a在非零向量b方向上的投影的坐标表示为 a cos 2 两点间的距离公式若A x1 y1 B x2 y2 则AB x2 x1 y2 y1 所以即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式 由此可知向量模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算 微思考 1 利用数量积的坐标运算常可解决哪些问题 提示 利用数量积的坐标运算常可解决以下问题 求距离 求向量的模 求向量的夹角 证明两向量垂直 或判断图形形状等 求点的坐标及求参数的值等问题 2 两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 a b与a b的坐标表示有何区别 提示 若a b x1y2 x2y1 即x1y2 x2y1 0 若a b x1x2 y1y2 0 前者为两坐标交叉积的差等于0 而后者为相应坐标的积的和等于0 两个结论不能混淆 可以对比学习 分别记忆 即时练 已知向量a 1 2 b 3 2 则a b a b a b a与b的夹角的余弦值是 解析 a b 1 3 2 2 1 因为a b 2 4 a b 4 0 所以 a b a b cos a b 答案 知识点2直线的方向向量对直线的方向向量的两点说明 1 个数 一条直线的方向向量有无数个 2 长度 方向向量的长度没有限制 微思考 1 直线y kx b的方向向量是什么 提示 a 1 k 2 直线Ax By C 0 A B 0 的一个方向向量是否是提示 是 即时练 已知直线l1 3x y 2 0和l2 x 2y 1 0 求l1与l2的夹角 解析 不妨取直线l1和l2的方向向量分别为m 1 3 n 设向量m与n的夹角为 从而cos 所以 45 即直线l1和l2的夹角为45 题型示范 类型一数量积的坐标运算 典例1 1 已知向量a 1 1 b 2 x 若a b 1 则x 2 2014 渭南高一检测 已知向量a与b同向 b 1 2 a b 10 求向量a的坐标 求a a b a b a b 若c 2 1 求 b c a 解题探究 1 已知向量的数量积如何用坐标法求未知向量的坐标 2 计算 a b a b 的方法有哪些 探究提示 1 利用向量数量积的坐标表示构造方程求得未知向量的坐标即可 2 直接展开或先分别求a b与a b的坐标 再计算 自主解答 1 a b 1 1 2 x 2 x 1 x 1 答案 1 2 因为a与b同向 又因为b 1 2 所以a b 2 0 又因为a b 10 所以1 2 2 10 解得 2 0 所以a 2 4 方法一 因为a b 2 4 1 2 3 6 a b 2 4 1 2 1 2 所以a a b 2 3 4 6 30 a b a b 3 1 6 2 15 方法二 因为a2 22 42 20 a b 10 b2 12 22 5 所以a a b a2 a b 20 10 30 a b a b a2 b2 20 5 15 因为b c 1 2 2 1 0 所以 b c a 0 a 0 延伸探究 在本题 2 的条件下求 3a b a 2b 解析 方法一 因为a 2 4 b 1 2 所以3a b 6 12 1 2 5 10 a 2b 2 4 2 4 4 8 所以 3a b a 2b 5 4 10 8 100 方法二 因为a b 10 a2 20 b2 5 所以 3a b a 2b 3a2 5a b 2b2 3 20 5 10 2 5 100 方法技巧 数量积坐标运算的符号 1 进行数量积运算时 要正确使用公式a b x1x2 y1y2 并能灵活运用以下几个关系 a 2 a a a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 利用数量积的条件求平面向量的坐标 一般来说应当先设出向量的坐标 然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系 利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解 3 形如 ma nb ka eb m n k e R 的坐标运算 有两条途径 其一 展开转化为a2 a b b2的坐标运算 其二 先求ma nb与ka eb的坐标 再运算 变式训练 1 已知a 4 3 b 5 6 则3 a 2 4a b 解析 3 a 2 4a b 75 8 83 答案 83 2 a 4 7 b 5 2 则a b a 2a 3b a 2b 解析 a b 20 14 6 a 2a 3b a 2b 2 4 7 3 5 2 4 7 2 5 2 23 8 6 11 138 88 50 答案 补偿训练 已知2a b 4 3 a 2b 3 4 求a b的值 解析 由已知可得 4a 2b 8 6 所以 4a 2b a 2b 8 6 3 4 5 10 即5a 5 10 所以a 1 2 从而b 2a b 2a 4 3 2 4 2 1 所以a b 1 2 2 1 0 类型二向量的夹角与垂直问题 典例2 1 2013 山东高考 在平面直角坐标系xOy中 已知 1 t 2 2 若 ABO 90 则实数t的值为 2 已知c ma nb a与c垂直 b与c的夹角为120 且b c 4 a 求实数m n的值及a与b的夹角 解题探究 1 两向量垂直如何用坐标表示 2 求向量的夹角的关键是什么 探究提示 1 x1x2 y1y2 0 2 求两个向量的夹角的关键是确定两个向量的数量积和两个向量的模 再利用公式求得夹角的余弦值 进而确定角的大小 自主解答 1 2 2 1 t 3 2 t 因为 ABO 90 所以所以 0 3 2 2 2 t 0 所以t 5 答案 5 2 因为a与c垂直 所以a c 0 又因为c ma nb 所以c c ma c nb c 所以12 4 4n 所以n 4 因为b c b c cos120 所以 4 b 4 所以 b 2 所以a c ma2 4a b 0 a 所以a b 2m 又b c m a b 4b2 4 所以 4 2m2 16 所以m2 6 所以m 当m 时 a b cos 又 0 所以 当m 时 a b 所以cos 又 0 所以 综上所述 当m n 4时 当m n 4时 方法技巧 利用数量积求两向量夹角的步骤 变式训练 1 2014 湖北高考 设向量a 3 3 b 1 1 若 a b a b 则实数 解析 因为a b 3 3 a b 3 3 因为 a b a b 所以 3 3 3 3 0 解得 3 答案 3 误区警示 解题时要明确知道 a b a b 的充要条件是 a b a b 0 不要与向量平行的充要条件弄混 2 设a 4 3 b 2 1 若a tb与b的夹角为45 求实数t的值 解题指南 由条件求出 a tb b及 a tb b 代入两向量的夹角公式求解 解析 a tb 4 3 t 2 1 4 2t t 3 a tb b 4 2t t 3 2 1 5t 5 a tb 由 a tb b a tb b cos45 得5t 5 即t2 2t 3 0 所以t 3或t 1 经检验t 3不合题意 舍去 所以t 1 补偿训练 已知点A 2 2 B 4 1 O为坐标原点 P为x轴上一动点 当取最小值时 求向量与的夹角的余弦值 解析 设点P x 0 则所以 x 2 x 4 2 1 x2 6x 10 x 3 2 1 所以当x 3时 取最小值1 此时 2 2 3 0 1 2 4 1 3 0 1 1 所以所以cos APB 类型三数量积的坐标表示的综合应用 典例3 1 2013 福建高考 在四边形ABCD中 若 1 2 4 2 则该四边形的面积为 2 2014 淮南高一检测 已知 ABC顶点的直角坐标分别为A 3 4 B 0 0 C c 0 若c 5 求sinA的值 若A是钝角 求c的取值范围 解题探究 1 向量与垂直吗 2 A是哪两个向量的夹角 探究提示 1 因为所以2 向量与的夹角 自主解答 1 选C 因为所以AC BD是互相垂直的对角线 所以 2 3 4 c 3 4 当c 5时 2 4 所以cosA 所以sinA 若A为钝角 则 3 c 3 16 0且与不共线 解得c 显然此时和不共线 故当A为钝角时 c的取值范围为 方法技巧 三角形或四边形形状的判定 1 可先求各边对应的向量及模 看各边长度关系 2 再求它们两两的数量积 从而判定其内角是否为锐角 直角 钝角 四边形还可以从对角线对应的向量入手 变式训练 直角坐标系xOy中 2 1 3 k 若 ABC是直角三角形 则k的可能值个数是 A 1B 2C 3D 4 解题指南 根据 ABC是直角三角形求k时 应分AB AC AB BC和AC BC三种情况讨论 解析 选B 若 A 90 则 6 k 0 k 6 若 B 90 则k 1 若 C 90 则 k2 k 3 0无解 所以综上 k可能取 6 1两个数 补偿训练 在四边形ABCD中 6 1 x y 2 3 1 求x与y的关系式 2 若有求x y的值及四边形ABCD的面积 解析 1 因为 6 1 x y 2 3 x 4 y 2 所以 x 4 2 y 又 x y 所以x 2 y y x 4 0 即x 2y 0 2 因为 6 1 x y x 6 y 1 x y 2 3 x 2 y 3 且所以即 x 6 x 2 y 1 y 3 0 又由 1 的结论x 2y 0 所以 6 2y 2y 2 y 1 y 3 0 化简得y2 2y 3 0 所以y 3或y 1 当y 3时 x 6 于是有所以所以S四边形ABCD 同理y 1时 x 2 于是有所以所以S四边形ABCD 即或S四边形ABCD 16 规范解答 平面向量数量积坐标表示的综合应用 典例 12分 2014 芜湖高一检测 已知O为坐标原点 A 3 0 B 0 3 C cos sin 1 若求cos2 sin2 2 若且 0 求夹角的大小 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若在 处将平面向量数量积 模 夹角的坐标表示错误 实际考试中至多得6分 失分点2 若在 处忽视 1 的代换 则无法进一步将 弦 化为 切 实际考试中至多得10分 失分点3 若在 处由三角函数值求角 忽视了角的范围 则导致求角出错或过程不严谨 实际考试中扣1至2分 悟题 提措施 导方向1 记准平面向量数量积 模 夹角的坐标表示解答向量问题 必须要记清 用准常用公式 如本例中数量积 向量的模和向量夹角公式的应用要准确 2 几何问题转化为坐标运算解答向量问题要注意认真审题 恰当地将向量的坐标运算与向量加 减 数乘 数量积的定义和几何意义结合起来分析问题 如本例中根据转化为坐标关系 类题试解 2013 江苏高考 已知a cos sin b cos sin 0 1 若 a b 求证 a b 2 设c 0 1 若a b c 求 的值 解析 1 由题意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因为a2 b2 a 2 b 2 1 所以2 2a b 2 即a b 0 故a b 2 因为a b cos cos sin sin 0 1 所以由此得 cos cos 由0 得0 又0 故 代入sin sin 1得 sin sin 而 所以