高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质 栏目链接 1 理解直线与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 并能利用性质定理解决有关问题 2 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 栏目链接 典例精析 题型一线面垂直性质的应用 栏目链接 例1如右图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 栏目链接 栏目链接 栏目链接 跟踪训练1 如图 已知直线a 直线b 且AB a AB b 平面 c 求证 AB c 证明 过点B引直线a a a 与b确定的平面设为 a a AB a AB a 又AB b a b B AB b c b c a c a c 又a a a c 由 可得c 又AB AB c 题型二面面垂直性质的应用 栏目链接 例2如图 平面PAB 平面ABC 平面PAC 平面ABC AE 平面PBC E为垂足 1 求证 PA 平面ABC 2 当E为 PBC的垂心时 求证 ABC是直角三角形 栏目链接 证明 利用线面垂直的判定 面面垂直的性质来解 1 如图 在平面ABC内取一点D 作DF AC于F 平面PAC 平面ABC 且交线为AC DF 平面PAC PA 平面PAC DF AP 作DG AB于G 同理可证DG AP DG DF都在平面ABC内 且DG DF D PA 平面ABC 2 如图 连接BE并延长交PC于H E是 PBC的垂心 栏目链接 PC BE 又已知AE是平面PBC的垂线 PC AE 又 BE AE E PC 平面ABE PC AB 又 PA 平面ABC PA AB 又 PC PA P AB 平面PAC AB AC 即 ABC是直角三角形 点评 证明线面垂直 面面垂直 线线垂直不要局限于一个方面 有时需考虑多种情况的综合 栏目链接 跟踪训练2 如图所示 在四棱锥PABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD 点E在线段PC上 PC 平面BDE 1 证明 BD 平面PAC 2 若PA 1 AD 2 求二面角BPCA的正切值 栏目链接 证明 PA 平面ABCD PA BD PC 平面BDE PC BD 又 PA PC P BD 平面PAD BD 平面PAC 2 设AC与BD交于点O 连接OE PC 平面BDE PC OE 又 BO 平面PAC PC BO PC 平面BOE PC BE OE BO O BEO为二面角BPCA的平面角 BD 平面PAC BD AC 四边形ABCD为正方形 栏目链接 题型三综合应用 栏目链接 例3如右图所示 在四棱锥PABCD中 底面ABCD是 DAB 60 且边长为a的菱形 侧面PAD为正三角形 其所在平面垂直于底面ABCD 1 求证 AD PB 2 若E为BC边的中点 能否在棱上找到一点F 使平面DEF 平面ABCD 并证明你的结论 栏目链接 1 证明 设G为AD的中点 连接PG PAD为正三角形 PG AD 在菱形ABCD中 DAB 60 G为AD的中点 BG AD 又BG PG G AD 平面PGB PB 平面PGB AD PB 2 解析 当F为PC的中点时 满足平面DEF 平面ABCD 取PC的中点F 连接DE EF DF 栏目链接 在 PBC中 FE PB 在菱形ABCD中 GB DE 而FE 平面DEF DE 平面DEF EF DE E PB 平面PGB GB 平面PGB PB GB B 平面DEF 平面PGB 由 1 得PG 平面ABCD 而PG 平面PGB 平面PGB 平面ABCD 平面DEF 平面ABCD 点评 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则 解题时要抓住几何图形自身的特点 如等腰 边 三角形的三线合一 中位线定理 菱形的对角线互相垂直等等 还可以通过解三角形 产生一些题目所需要的条件 对于一些较复杂的问题 注意应用转化思想解决问题 栏目链接 跟踪训练3 如图 在三棱锥PABC中 PAB是等边三角形 PAC PBC 90 1 证明 AB PC 2 若PC 4 且平面PAC 平面PBC 求三棱锥PABC的体积 栏目链接 证明 1 因为 PAB是等边三角形 所以PB PA 因为 PAC PBC 90 PC PC 所以Rt PBC Rt PAC 所以AC BC 如图 取AB中点D 连接PD CD 则PD AB CD AB 又因为PD CD D 所以AB 平面PDC 所以AB PC 栏目链接 2 解析 作BE PC 垂足为E 连接AE 因为Rt PBC Rt PAC 所以AE PC AE BE 由已知 平面PAC 平面PBC 故 AEB 90 因为 AEB 90 PEB 90 AE BE AB PB 所以Rt AEB Rt BEP 所以 AEB PEB CEB都是等腰直角三角形 由已知PC 4 得AE BE 2 AEB的面积S 2 因为PC 平面AEB 所以三棱锥PABC的体积V S PC