高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课件 新人教版选修2-1.ppt

2 3双曲线2 3 1双曲线及其标准方程 一 双曲线的定义 差的绝对值 小于 定 点F1 F2 两焦点间 思考 在双曲线的定义中 若去掉 绝对值 其轨迹还是双曲线吗 提示 不是 其轨迹是双曲线的一支 二 双曲线的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 判断 正确的打 错误的打 1 在双曲线标准方程中 规定a 0 b 0时a b 2 双曲线标准方程中a b c的关系是a2 b2 c2 3 双曲线的焦点在y轴上 提示 1 错误 在标准方程中 a b时 也表示双曲线 2 正确 双曲线标准方程中 a b c满足a2 b2 c2 3 错误 根据标准方程的特点 双曲线的焦点应在x轴上 答案 1 2 3 知识点拨 1 对双曲线定义的两点说明 1 距离的差要加绝对值 否则只为双曲线的一支 若F1 F2表示双曲线的左 右焦点 且点P满足 PF1 PF2 2a 则点P在右支上 若点P满足 PF2 PF1 2a 则点P在左支上 2 在双曲线定义中 规定2a2c时 动点P的轨迹不存在 2 对双曲线标准方程的四点认识 1 只有当双曲线的两焦点F1 F2在坐标轴上 并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程 2 标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 与椭圆中b2 a2 c2相区别 且椭圆中a b 0 而双曲线中a b大小则不确定 3 焦点F1 F2的位置 是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在x轴上 若y2项的系数为正 则焦点在y轴上 4 双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式 即Ax2 By2 1 AB 0 类型一双曲线的定义及应用 典型例题 1 2013 三明高二检测 若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8 则点P到它的左焦点的距离是 A 4B 12C 4或12D 6 2 2013 大庆高二检测 已知双曲线C 的左 右焦点分别为F1 F2 P为双曲线C的右支上一点 且 PF2 F1F2 则 PF1F2的面积等于 A 24B 36C 48D 96 解题探究 1 使用双曲线的定义解题时 要特别注意什么 2 题2中利用双曲线的定义和 PF2 F1F2 可知 PF1F2具有哪些特征 如何计算其面积 探究提示 1 使用双曲线的定义时 要特别注意 差的绝对值 等于常数 2 PF1F2是等腰三角形 且 PF1 PF2 2a 6 可求此等腰三角形的底和底边上的高计算 PF1F2的面积 解析 1 选C 设双曲线的两个焦点分别为A B 由定义 PA PB 4 8 PB 4 PB 4或 PB 12 2 选C 在中 a 3 b 4 c2 a2 b2 25 c 5 由条件知 PF2 F1F2 2c 10 又 P为双曲线C的右支上一点 PF1 PF2 2a 6 PF1 16 过F2作F2T PF1于T 则T为PF1的中点 且 PT 8 F2T 6 16 6 48 互动探究 若把题2中 PF2 F1F2 改为 PF1 PF2 32 其他条件不变 求 F1PF2的值 解题指南 结合双曲线定义及余弦定理解题 解析 令 PF1 r1 PF2 r2 则 r1 r2 6 且r1r2 32 又 2c 10 cos F1PF2 0 F1PF2 90 拓展提升 1 双曲线上点的性质 2 焦点三角形问题双曲线上的点P与其两个焦点F1 F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形 令 PF1 r1 PF2 r2 F1PF2 因 F1F2 2c 所以有 定义 r1 r2 2a 余弦公式 4c2 r12 r22 2r1r2cos 面积公式 r1r2sin 一般地 在 PF1F2中 通过以上三个等式 所求问题就会顺利解决 变式训练 已知双曲线方程为 a 0 b 0 点A B在双曲线右支上 线段AB经过双曲线的右焦点F2 AB m F1为另一个焦点 则 ABF1的周长为 A 2a 2mB 4a 2mC a mD 2a 4m 解析 选B 设 ABF1的周长为Z 则Z AF1 BF1 AB AF1 AF2 BF1 BF2 AF2 BF2 AB AF1 AF2 BF1 BF2 2 AB 2a 2a 2m 4a 2m 类型二求双曲线的标准方程 典型例题 1 2013 上高高二检测 与椭圆 y2 1共焦点且过点Q 2 1 的双曲线方程是 A y2 1B y2 1C D 2 已知双曲线过P1 2 和P2 4 两点 求双曲线的标准方程 解题探究 1 在椭圆和双曲线的标准方程中 a b c的关系有什么区别 2 当双曲线的焦点位置不确定时 求标准方程有哪两种常见思路 探究提示 1 在椭圆的标准方程中 a2 b2 c2 在双曲线的标准方程中 a2 b2 c2 2 思路1 分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 思路2 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解析 1 选A 方法一 椭圆 y2 1的焦点是 0 和 0 双曲线的焦点也在x轴上且c 设双曲线方程为 a 0 b 0 则且a2 b2 3 解得a2 2 b2 1 故标准方程为 y2 1 方法二 椭圆 y2 1的焦点坐标为 0 和 0 双曲线的两个焦点坐标也是 0 和 0 点 2 1 在双曲线上 则2a 1 1 2 a 从而b2 3 2 1 双曲线标准方程为 y2 1 2 方法一 当双曲线的焦点在x轴上时 设双曲线方程为 a 0 b 0 由P1 P2在双曲线上 知解之得不合题意 舍去 当双曲线的焦点在y轴上时 设双曲线的方程为 a 0 b 0 由P1 P2在双曲线上 知解之得即a2 9 b2 16 故所求双曲线方程为 方法二 双曲线的焦点位置不确定 可设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 P1 P2在双曲线上 解得故所求双曲线方程为即 拓展提升 1 求双曲线标准方程的两个关注点 2 待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 1 定位置 根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上 还是两种都有可能 2 设方程 根据焦点位置 设其方程为或 a 0 b 0 焦点位置不定时 亦可设为mx2 ny2 1 m n 0 3 寻关系 根据已知条件列出关于a b c m n 的方程组 4 得方程 解方程组 将a b m n 代入所设方程即可得 求 标准方程 变式训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 3 c 4 焦点在x轴上 2 焦点为 0 6 0 6 经过点A 5 6 解析 1 由题设a 3 c 4 c2 a2 b2得 b2 c2 a2 42 32 7 因为双曲线的焦点在x轴上 所以所求双曲线的标准方程为 2 由已知得c 6 且焦点在y轴上 因为点A 5 6 在双曲线上 所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a 即2a 13 5 8 则a 4 b2 c2 a2 62 42 20 因此 所求双曲线的标准方程是 类型三双曲线标准方程的应用 典型例题 1 2013 安阳高二检测 若k R 则k 3是方程表示双曲线的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 2013 大连高二检测 方程表示的曲线为C 给出下列四个命题 曲线C不可能为圆 若14 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 则1 k 其中正确的命题是 解题探究 1 如果方程表示双曲线 m n需满足什么条件 2 形如mx2 ny2 1的方程 何时表示圆 何时表示椭圆 何时表示双曲线 探究提示 1 根据双曲线标准方程的特点 当mn0时 方程mx2 ny2 1表示圆 当m 0 n 0且m n时 方程mx2 ny2 1表示椭圆 当mn 0时 方程mx2 ny2 1表示双曲线 解析 1 选A 当表示双曲线时 有 k 3 k 3 0 即k 3或k3 成立时 方程表示双曲线 反过来 当方程表示双曲线时 不一定有k 3成立 2 当4 k k 1时 k 这时4 k k 1 0 k 时 方程表示圆 故 错误 当4 k 0 k 1 0且4 k k 1即14或kk 1 0 即1 k 故 正确 答案 拓展提升 1 对方程mx2 ny2 1表示曲线的分析 2 双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较 变式训练 已知方程kx2 y2 4 其中k为实数 对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型 解题指南 利用分类讨论的思想解决 解析 1 当k 0时 y 2 表示两条与x轴平行的直线 2 当k 1时 方程为x2 y2 4 表示圆心在原点 半径为2的圆 3 当k1时 方程为表示焦点在y轴上的椭圆 定义法求双曲线的方程 典型例题 1 已知点P x y 的坐标满足下列条件 试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形 1 满足 6的轨迹是 2 满足 6的轨迹是 2 在 MNG中 已知 NG 4 当动点M满足条件sinG sinN sinM时 求动点M的轨迹方程 3 如图 已知定圆C1 x2 y2 10 x 24 0 定圆C2 x2 y2 10 x 9 0 动圆C与定圆C1 C2都外切 求动圆圆心C的轨迹方程 解析 1 1 表示点P x y 到两定点F1 5 0 F2 5 0 的距离之差的绝对值 F1F2 10 PF1 PF2 6 F1F2 故点P的轨迹是双曲线 2 表示点P x y 到两定点F1 4 0 F2 4 0 的距离之差 F1F2 8 PF1 PF2 6 F1F2 故点P的轨迹是双曲线的右支 答案 1 双曲线 2 双曲线的右支 2 在 MNG中 sinG sinN sinM NG 4 根据正弦定理得 MN MG NG 21 3 圆C1化为标准方程为 x 5 2 y2 1 圆心C1 5 0 半径r1 1 圆C2化为标准方程为 x 5 2 y2 42 圆心C2 5 0 半径r2 4 设动圆C的圆心坐标为C x y 半径为R 则有 CC1 R 1 CC2 R 4 CC2 CC1 3且 CC2 CC1 C1C2 C点轨迹是以C1 C2为焦点的双曲线的左支 且a c 5 动圆圆心C的轨迹方程为 x 拓展提升 1 定义法求双曲线的标准方程如果平面内的动点P x y 满足条件 PF1 PF2 2a 定长 那么当0 2a F1F2 时 P点的轨迹是双曲线 当2a F1F2 时 P点的轨迹为两条射线 如果条件中不含绝对值 那么其轨迹是双曲线的一支或一条射线 2 定义法求轨迹的三个关注点关注点一 条件中是否含绝对值 当不含绝对值时 轨迹只能是其一支 关注点二 直接求参数a b 而不是利用距离公式写出方程 避免复杂的运算 关注点三 当差为常数时 要注意常数是否小于两定点间的距离 易错误区 将双曲线与椭圆定义混淆导致错误 典例 2012 辽宁高考 已知双曲线x2 y2 1 点F1 F2为其两个焦点 点P为双曲线上一点 若PF1 PF2 则 PF1 PF2 的值为 解析 不妨设 PF1 PF2 由双曲线方程x2 y2 1知a b 1 c 由双曲线定义得 PF1 PF2 2a 2 由已知条件PF1 PF2及勾股定理得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2c 2 8 上述两式联立 解得 PF1 1 PF2 1 故 PF1 PF2 2 答案 2 误区警示 防范措施 1 正确理解定义若点在椭圆上 则 PF1 PF2 2a 若点在双曲线上 则 PF1 PF2 2a 要注意区分其差别 本例中可结合双曲线的对称性设 PF1 PF2 得到 PF1 PF2 2a 2 2 正确处理焦点三角形处理焦点三角形时 一定要结合定义 勾股定理和余弦定理求解 在求解过程中要注意配方技巧 即 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 如本例中 可由PF1 PF2 结合勾股定理解决 类题试解 已知F1 F2为双曲线C x2 y2 1的左 右焦点 点P在C上 F1PF2 60 则 PF1 PF2 等于 A 2B 4C 6D 8 解析 选B 由余弦定理得cos F1PF2 cos60 PF1 PF2 4 1 双曲线方程为x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 A 0 B 0 C 0 D 0 解析 选C 双曲线方程化为标准形式为x2 1 c2 1 c 右焦点坐标为 0 2 双曲线的两个焦点分别是F1 F2 双曲线上一点P到F1的距离是12 则P到F2的距离是 A 17B 7C 7或17D 2或22 解析 选D 由得a 5 b 3 由双曲线的定义得 PF1 PF2 2a 10 PF2 2或22 经检验都满足 3 k 9 是 方程表示双曲线 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 方程表示双曲线时 k 4 9 k 0 解得k 9或k9 是 方程表示双曲线 的充分不必要条件 4 下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有 把序号填在横线上 x2 y2 1 1 a 0 y2 2x2 1 x2cos y2sin 1 解析 根据双曲线的标准方程形式 方程表示焦点在y轴上的双曲线的有 答案 5 双曲线的焦点为 2 0 和 2 0 且b 1 则双曲线的标准方程是 解析 由条件知 双曲线焦点在x轴上 且c 2 b 1 a2 c2 b2 22 12 3 双曲线的标准方程为 y2 1 答案 y2 1 6 焦点在x轴上的双曲线过点P 4 3 且点Q 0 5 与两焦点的连线互相垂直 求此双曲线的标准方程 解析 因为双曲线焦点在x轴上 所以设双曲线的标准方程为 a 0 b 0 因为双曲线过点P 4 3 所以 又因为点Q 0 5 与两焦点的连线互相垂直 所以 0 即 c2 25 0 解得c2 25 又c2 a2 b2 所以由 可解得a2 16或a2 50 舍去 所以b2 9 所以所求的双曲线的标准方程是