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第二部分专题六1如图，直线yx2与反比例函数y(k0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；(2)若点P在直线yx2上，且SACPSBDP，请求出此时点P的坐标；(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)直线yx2与反比例函数y(k0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，a23，32b，解得a1，b1，A(1,3)，B(3，1)点A(1,3)在反比例函数y图象上，k133，反比例函数的解析式为y.(2)设点P(n，n2)A(1,3)，C(1,0)B(3，1)，D(3,0)SACPAC|xPxA|3|n1|，SBDPBD|xBxP|1|3n|.SACPSBDP，3|n1|1|3n|，解得n0或n3，P(0,2)或(3,5)(3)存在设M(m,0)(m0)，A(1,3)，B(3，1)，MA2(m1)29，MB2(m3)21，AB232，MAB是等腰三角形，当MAMB时，(m1)29(m3)21，m0(舍)；当MAAB时，(m1)2932，m1或m1(舍)，M(1，0)；当MBAB时，(m3)2132，m3或m3(舍)，M(3，0)则满足条件的M(1，0)或(3，0)2如图，在平面直角坐标系中，等腰RtAOB的斜边OB在x轴上，直线y3x4经过等腰RtAOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y也经过A点，连接BC(1)求k的值；(2)判断ABC的形状，并求出它的面积；(3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如答图1，过点A分别作AQy轴于Q点，ANx轴于N点答图1AOB是等腰直角三角形，AQAN.设点A的坐标为(a，a)，点A在直线y3x4上，a3a4，解得a2，则点A的坐标为(2,2)双曲线y也经过A点，k4.(2)由(1)知，A(2,2)，B(4,0)直线y3x4与y轴的交点为C，C(0，4)，AB2BC2(42)22242(4)240，AC222(24)240，AB2BC2AC2，ABC是直角三角形，且ABC90，SABCABBC248.(3)存在如答图2，假设双曲线上存在一点M，使得PAM是等腰直角三角形答图2PAM90OAB，APAM，连接BM.k4，反比例函数的解析式为y.OABPAM90，OAPBAM.在AOP和ABM中，AOPABM(ASA)，AOPABM，OBMOBAABM90，点M的横坐标为4，M(4,1)则在双曲线上存在一点M(4,1)，使得PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形3如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y(x0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点C，PBx轴于点B，点A与点B关于y轴对称(1)求一次函数，反比例函数的解析式；(2)求证：点C为线段AP的中点；(3)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由解：(1)点A与点B关于y轴对称，AOBO.A(4,0)，B(4,0)PBx轴于点B，P(4,2)把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m8，反比例函数的解析式为y.把A，P两点坐标分别代入一次函数解析式可得解得一次函数的解析式为yx1.(2)证明：点A与点B关于y轴对称，OAOBPBx轴于点B，PBACOA90，PBCO，点C为线段AP的中点(3)存在点D，使四边形BCPD为菱形理由如下：点C为线段AP的中点，BCAPPC，BC和PC是菱形的两条边由yx1可得C(0,1)如答图，过点C作CDx轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD，BD，答图D(8,1)，且PBCD，PEBE1，CEDE4，PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，存在满足条件的点D，其坐标为(8,1)4(xx金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y与y(x0,0mn)的图象上，对角线BDy轴，且BDAC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m4，n20时若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由解：(1)如答图1.m4，反比例函数y的解析式为y.当x4时，y1，B(4,1)，当y2时，2，解得x2，A(2,2)设直线AB的解析式为ykxb，将A(2,2)，B(4,1)两点分别代入，得解得直线AB的函数表达式为yx3.四边形ABCD是菱形理由如下：如答图2，由知，B(4,1)，BDy轴，D(4,5)点P是线段BD的中点，P(4,3)当y3时，由y得x，由y得x，PA4，PC4，PAPCPBPD，四边形ABCD为平行四边形，BDAC，四边形ABCD是菱形图1图2答图(2)四边形ABCD能成为正方形理由：当四边形ABCD是正方形时，则PAPBPCPD(设为t，t0)，当x4时，y，B(4，)，A(4t，t)，C(4t，t)，(4t)(t)m，t4，C(8，4)，(8)4n，mn32.点D的纵坐标为2t2(4)8，D(4,8)，4(8)n，mn32.5如图，已知一次函数y1k1xb的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2的图象分别交于C，D两点，点D(2，3)，OA2.(1)求一次函数y1k1xb与反比例函数y2的解析式；(2)直接写出k1xb0时自变量x的取值范围；(3)动点P(0，m)在y轴上运动，当|PCPD|的值最大时，直接写出P点的坐标解：(1)点D(2，3)在反比例函数y2的图象上，k22(3)6，y2.如答图，过点D作DEx轴于E.答图OA2，A(2,0)，A(2,0)，D(2，3)在y1k1xb的图象上，解得y1x.(2)由图可得，当k1xb0时，x4或0x2.(3)P点坐标为(0，)理由如下：由解得或C(4，)，如答图，作C(4，)关于y轴对称点C(4，)，延长CD交y轴于点P，由C和D的坐标可得，直线CD解析式为yx，令x0，则y，当|PCPD|的值最大时，点P的坐标为(0，)6如图1，直线ykxb与双曲线y(x0)相交于点A(1，m)，B(4，n)，与x轴相交于C点(1)求点A，B的坐标及直线ykxb的解析式；(2)求ABO的面积；(3)如图2，在x轴上是否存在点P，使得PAPB的和最小？若存在，请说明理由并求出P点坐标解：(1)点A(1，m)，B(4，n)在双曲线y(x0)上，m4，n1，A(1,4)，B(4,1)，解得直线ykxb的解析式为yx5.(2)如答图1，设直线AB与y轴交于D点，由(1)知，直线AB的解析式为yx5，C(5,0)，D(0,5)，OC5，OD5.SAOBSCODSAODSBOC555151.(3)存在，理由：如答图2，作点B(4,1)关于x轴的对称点B(4，1)，连接AB交x轴于点P，连接BP，在x轴上取一点Q，连接AQ，BQ.点B与点B关于x轴对称，点P，Q是BB中垂线上的点，PBPB，QBQB，在AQB中，AQBQAB，APBP的最小值为AB.A(1,4)，B(4，1)，直线AB的解析式为yx，令y0，则0x，解得x，P(，0)7如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A(6,0)，D(2，8)(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A，C重合，过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为ya(x2)28，把A(6,0)代入得a(62)280，解得a.抛物线的解析式为y(x2)28，即yx22x6.(2)如答图，当x0时，yx22x66，则C(0，6)设直线AC的解析式为ykxb，把A(6,0)，C(0，6)分别代入得解得直线AC的解析式为yx6.设P(x，x22x6)(6x0)，则E(x，x6)PEx6(x22x6)x23x(x3)2，当x3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(3，)(3)存在如答图，抛物线的对称轴为直线x2，设M(2，t)A(6,0)，C(0，6)，AC2626272，AM2(26)2t2，CM2(2)2(t6)2.当AC2AM2CM2，ACM为直角三角形，即72(26)2t2(2)2(t6)2，解得t4，此时点M坐标为(2,4)；当AC2CM2AM2时，ACM为直角三角形，即72(2)2(t6)2(26)2t2，解得t8，此时点M的坐标为(2，8)；当CM2AM2AC2时，ACM为直角三角形，即(2)2(t6)2(26)2t272，解得t13，t23，此时点M的坐标为(2，3)或(2，3)综上所述，点M的坐标为(2,4)或(2，8)或(2，3)或(2，3)8(xx泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc的图象交x轴于点A(4,0)，B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)二次函数yax2bxc的图象经过点A(4,0)，B(2,0)，C(0,6)，解得二次函数的表达式为yx2x6. (2)由A(4,0)，E(0，2)可得AE所在的直线解析式为yx2，过点D作DFx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如答图，设D(m，m2m6)，则点F(m，m2)，DFm2m6(m2)m2m8，SADESADFSEDFDFAGDFEHDF(AGHE)DF42(m2m8)(m)2，当m时，SADE最大，最大值为.(3)存在，P点的坐标为(1,1)或(1，)或(1，2)【解法提示】yx2x6的对称轴为直线x1，设P(1，n)，又E(0，2)，A(4,0)，可得PA，PE，AE2，当PAPE时，解得n1，此时P(1,1)；当PAAE时，2，解得n，此时P点的坐标为(1，)；当PEAE时，2，解得n2，此时P点的坐标为(1，2)，综上所述，P点的坐标为(1,1)或(1，)或(1，2)9如图，已知抛物线yx2bxc经过点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD(1)求抛物线的解析式(2)若点P在直线BD上，当PEPC时，求点P的坐标(3)在(2)的条件下，作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标解：(1)抛物线yx2bxc经过点A(1,0)，B(3,0)，解得即抛物线的解析式为yx22x3.(2)由(1)知，抛物线的解析式为yx22x3，C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(1，4)，E(1,0)设直线BD的解析式为ymxn，解得直线BD的解析式为y2x6.设点P(a，2a6)C(0，3)，E(1,0)，根据勾股定理得，PE2(a1)2(2a6)2，PC2a2(2a63)2.PCPE，(a1)2(2a6)2a2(2a63)2，解得a2，y2(2)62，P(2，2)(3)如答图，作PFx轴于F，F(2,0)设M(d,0)，G(d，d22d3)，N(2，d22d3)以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FMMG，|d2|d22d3|，解得d或，点M的坐标为(，0)，(，0)，(，0)或(，0)10(xx岳阳)已知抛物线F：yx2bxc经过坐标原点O，且与x轴另一交点为(，0)图1图2(1)求抛物线F的解析式；(2)如图1，直线l：yxm(m0)与抛物线F相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A在第二象限)，求y2y1的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，若m，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2.判断AAB的形状，并说明理由；平面内是否存在点P，使得以点A，B，A，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yx2bxc经过点(0,0)和(，0)，解得抛物线F的解析式为yx2x.(2)将yxm代入yx2x，得x2m，解得x1，x2，y1m，y2m，y2y1(m)(m)(m0)(3)如答图，m，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，2)点A是点A关于原点O的对称点，点A的坐标为(，)AAB为等边三角形理由如下：A(，)，B(，2)，A(，)，AA，AB，AB，AAABAB，AAB为等边三角形存在AAB为等边三角形，以点A，B，A，P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)如答图a当AB为对角线时，有解得点P的坐标为(2，)b当AB为对角线时，有解得点P的坐标为(，)c当AA为对角线时，有解得点P的坐标为(，2)综上所述，平面内存在点P，使得以点A，B，A，P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2，)，(，)或(，2)11(xx永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点E(0,3)图1 图2(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EGFG最小？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB，抛物线相交于点M，N(点M，N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求PON的面积解：(1)设抛物线的表达式为ya(x1)24.把(0,3)代入得3a(01)24，解得a1，故抛物线的表达式为y(x1)24x22x3.(2)存在如答图1，作E关于对称轴的对称点E，连接EF交对称轴于G，此时EGFG的值最小E(0,3)，E(2,3)，易得直线EF的解析式为y3x3，当x1时，y3130，G(1,0)图1 图2(3)如答图2，过N作NHx轴于H，交AB于Q，设对称轴交x轴于D，A(1,4)，B(3,0)，直线AB的解析式为y2x6，设N(m，m22m3)，则Q(m，2m6)(1m3)，NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH，DABNQM.ADBQMN90，QMNADB，即，MN(m2)2.0，当m2时，MN有最大值过N作NIy轴于I，IPNABD，NIPADB90，NIPADB，PINIm，OPOIPIm22m3mm2m3，SPONOPIN(m2m3)m，当m2时，SPON(433)22.12(xx东营)如图，抛物线ya(x1)(x3)(a0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当y0时，a(x1)(x3)0，解得x11，x23，即A(1,0)，B(3,0)，OA1，OB3.OCAOBC，OCOBOAOC，OC2OAOB3，则OC.(2)C是BM的中点，即OC为RtOBM斜边BM的中线，OCBC，点C的横坐标为.又OC，点C在x轴下方，C(，)设直线BM的解析式为ykxb，把点B(3,0)，C(，)代入，得解得直线BM的解析式为yx.又点C(，)在抛物线上，将C(，)代入抛物线的解析式，解得a，抛物线的解析式为yx2x2.(3)存在如答图，过点P作PQx轴交直线BM于点Q，设点P的坐标为(x，x2x2)，则Q(x，x)，PQx(x2x2)x23x3，当BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，SBCPPQ(3x)PQ(x)PQx2x，当x时，SBCP有最大值，则四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为(，)
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