高中数学 2.1.4 函数的奇偶性3 抽象函数奇偶性课件 新人教B版必修1.ppt

抽象函数的单调性及相关问题 例1 已知y f x 是定义在R上的不恒为零的函数 且对任意的a b R都满足 f ab af b bf a 求f 0 及f 1 的值 判断f x 的奇偶性 并证明你的结论 抽象函数 无函数具体表达形式 仅知道一些函数性质去解决相关的问题 1 令a b 0 则f 0 0 令a b 1 则f 1 0 2 令a b x 有f 2f x 再另a b x有f 2f x 因为对任意的x R都满足 所以f x f x 故为奇函数 4 若f x f 2x 1求x的取值范围 例2 定义在R上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 对任意实数a b 有f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 定义在R上的函数y f x 恒有f x 0 3 求证 是R上的增函数 解 1 令a b 0 f 0 f2 0 f 0 0 f 0 1 2 x R f 0 f x x f x f x 1 f x 0 4 f x f 2x f x 2x f 0 3x 0 解 3 设任意实数x1 x2 且x10由已知f x2 x1 1 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x 0有f x1 0 4 若f x f 2x 1求x的取值范围 例2 定义在R上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1对任意实数a b 有f a b f a f b 3 求证 是R上的增函数 f x2 f x1 所以函数是 上的增函数 0 x 练习1 函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3 m 2 3 思维启迪问题 1 是抽象函数单调性的证明 所以要用单调性的定义 问题 2 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此需将右边常数3看成某个变量的函数值 练习2 已知y f x 定义域是R 且y f x 是增函数 f xy f x f y 1 求证 f f x f y 2 当f 3 1时f a f a 1 2 求a取值范围 证明 由已知得 练习3 已知函数f x 当x y R时 恒有f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 如果x R 时 f x 0 并且f 1 0 5 求f x 在区间 2 6 上的最值