高中数学 2.1从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4.ppt

第二章平面向量 1从位移 速度 力到向量 1 向量及有向线段的概念 1 向量的概念 把既有 又有 的量统称为向量 2 有向线段 如图 这种具有 和 的线段叫作有向线段 记作 大小 方向 方向 长度 2 向量的表示 箭 头 3 与向量相关的概念及向量间的关系 1 与向量相关的概念 长度 0 单位1 2 向量间的关系 相等向量 定义 长度相等且方向相同的向量 记作 规定 且 的有向线段都表示同一向量 向量平行或共线 定义 表示两个向量的有向线段所在的直线 表示 a与b平行或共线 记作 规定 零向量与任一向量 a b 同向 等长 平行或重合 a b 平行 1 判一判 正确的打 错误的打 1 向量就是有向线段 有向线段就是向量 2 向量可以比较大小 3 单位向量都是相等向量 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 在质量 加速度 功三个物理量中是向量的是 2 与模相等 方向相反的向量表示为 3 点D是 ABC边BC的中点 则向量与的关系是 解析 1 1 错误 向量与有向线段都有大小 方向 有向线段可以表示向量 但是不能说向量就是有向线段 有向线段就是向量 2 错误 向量既有大小 又有方向 因此不能比较大小 但是向量的模可以比较大小 3 错误 单位向量的模相等 但是方向不一定相同 不一定是相等向量 答案 1 2 3 2 1 质量 功只有大小没有方向 不是向量 加速度既有大小 又有方向 是向量 答案 加速度 2 与模相等 方向相反的向量表示为答案 3 向量与大小相等 方向相同 是相等向量 答案 相等 平行或共线 要点探究 知识点1向量的概念1 向量和有向线段的区别与联系 1 区别 向量是可以自由移动的 故当用有向线段来表示向量时 有向线段的起点是任意的 有向线段是不能自由移动的 有向线段平移后就不是原来的有向线段了 有向线段仅仅是向量的直观体现 是向量的一种表现形式 不能等同于向量 有向线段有平行和共线之分 而向量的平行和共线是相同的 是同一个概念 2 联系 向量可以用有向线段来表示 这条有向线段的长度就是向量的长度 有向线段的方向就是向量的方向 2 关于零向量与单位向量的方向 1 零向量 零向量的方向是任意的 虽然规定零向量与任意向量平行 但一般不能说零向量与某一向量的方向相同或相反 只能用 任意 来描述零向量的方向 2 单位向量 长度为1的向量为单位向量 单位向量的方向不确定 但对某一个确定的单位向量来说方向是确定的 微思考 1 由平面内的两个点分别作为起点 终点 可以确定几个向量 提示 可以确定两个 如由平面内的两个点A B可以确定两个向量 2 0与0的区别是什么 提示 0是数量 只有大小 没有方向 0是向量 模是0 方向是任意的 即时练 1 下列物理量 速度 位移 力 密度 路程 其中不是向量的有 A 1个B 2个C 3个D 4个2 判断下列说法正确与否 并说明理由 1 温度含零上和零下温度 所以温度是向量 2 方向不同的向量不能比较大小 但同向的可以比较大小 3 一个向量的方向不确定当且仅当模为0 解析 1 选B 是数量的有 路程 密度 是向量的有 速度 位移 力 2 1 不正确 虽然温度有零上和零下之分 但这指的不是方向 故不是向量 2 错误 向量没有大小之分 与它们的方向无关 3 正确 只有零向量的方向不定 大小为零 知识点2向量间的关系1 关于相等向量的关注点 1 两个向量相等必须满足两个条件 模相等 方向相同 二者缺一不可 例如 单位向量不一定是相等向量 2 相等向量是平行 共线 向量 但是平行 共线 向量不一定是相等向量 2 关于共线 平行向量的两点说明 1 共线向量也就是平行向量 其要求是几个非零向量的方向相同或相反 但向量所在的直线可以平行 也可以重合 其中 共线 的含义不同于平面几何中 共线 的含义 2 共线向量和平行向量是一个问题的两种说法 是指向量所在直线互相平行或重合 所以共线的两个向量可能在两条平行直线上 平行的两个向量也可能在同一条直线上 故此处的两种说法均不正确 知识拓展 数学中的向量是自由向量的原因根据相等向量的定义来分析 两个非零向量只有当它们的模相等 同时方向相同时 才能称它们相等 任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示 并且与有向线段的起点无关 所以向量只有大小和方向两个要素 是自由向量 微思考 1 若两个向量的位置不同 那么这两个向量可能是相等向量吗 提示 两个向量是否相等主要看两个向量的模是否相等 方向是否相同 与两个向量的位置无关 故这两个向量也可能是相等向量 2 向量a与0平行 能不能说0与向量a的方向相同或相反 提示 不能 对0的规定是与任意向量平行 方向是任意的 即时练 1 把平面上所有单位向量归结到共同的起点 那么这些向量的终点所构成的图形是 2 分别位于两条平行直线上的向量间的关系是 解析 1 把平面上一切单位向量归结到共同的起点 那么这些向量的终点到起点的距离都等于1 所以 由圆的定义得 这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆 答案 半径为1的圆 2 分别位于两条平行直线上的向量 方向相同或相反 是平行 共线 关系 答案 平行 共线 题型示范 类型一向量的表示 典例1 1 如图所示 已知AD 3 B C是线段AD的两个三等分点 分别以图中各点为起点和终点 长度大于1的向量有 2 如图 以1cm 3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中 请写出以A为起点的不同向量 解题探究 1 题 1 图中长度大于1的线段有多少条 2 题 2 中确定不同向量的依据是什么 探究提示 1 图中长度大于1的线段有AC AD BD三条 2 长度和方向中只要有一个不同 即为不同向量 自主解答 1 根据题意可得 模等于2的向量有模等于3的向量有答案 2 由图可知 以A为起点的不同向量有 延伸探究 题 2 中 条件不变 若问题改为 请写出模为2的向量 结果如何 解析 模为2的向量有 方法技巧 向量表示法中的三个注意点 1 书写时不要忘记 2 向量表示向量的起点为A 终点为B 由A指向B 3 向量表示时要注意小写字母和大写字母的用法 不要混合使用 变式训练 在如图的方格纸上 已知向量a 每个小正方形的边长为1 1 试以B为起点画一个向量b 使b a 2 在图中画一个以A为起点的向量c 使 c 并说出向量c的终点的轨迹是什么 解析 1 根据相等向量的定义 所作向量与向量a平行 且长度相等 如图中的b即为所作 2 c向量如图 答案不唯一 由平面几何知识可知 所有满足条件的向量c的终点的轨迹是以A为圆心 半径为的圆 误区警示 作图时容易弄错长度的关系 应借助图中的方格数确定向量的模 补偿训练 如图 已知正方形ABCD边长为2 O为其中心 则向量 解析 正方形的对角线长为所以答案 类型二向量的关系及其应用 典例2 1 等腰梯形ABCD中 对角线AC与BD交于点P 点E F分别在两腰AD BC上 EF过点P 且EF AB 则 2 如图 D E F分别是 ABC各边上的中点 四边形BCMF是平行四边形 请分别写出 与模相等且共线的向量 与相等的向量 解题探究 1 题 1 中判断向量是否相等的依据是什么 2 题 2 中判断向量共线的依据是什么 探究提示 1 判断向量是否相等的依据是两个向量的模是否相等 方向是否相同 2 判断向量共线的依据是两个向量的方向是否相同或相反 自主解答 1 选D 根据相等向量的定义 分析可得 A 与方向不同 A错误 B 与方向不同 B也错误 C 与方向相反 C也错误 D 与方向相同 且大小都等于线段EF长度的一半 D正确 2 因为BCMF是平行四边形 所以CM BF 因为D E分别是BC AC的中点 所以BF DE 又因为F是AB的中点 所以与向量模相等且共线的向量有 由 的分析可知 与向量相等的向量有 延伸探究 本例 1 中 相等的向量共有多少组 解析 依据等腰梯形的性质可知AD BC AC BD EP PF AE BF DE CF DP CP AP BP每一条线段可以表示方向不同的两组相等向量 故共有14组相等向量 方法技巧 相等向量与共线向量需注意的几个问题 1 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定是相等向量 2 两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 3 平行 共线 向量无传递性 因为有0 4 共线向量一般在一条直线上或分别在两条平行直线上 变式训练 如图 在正六边形ABCDEF中 点O为其中心 则下列判断错误的是 解题指南 根据正六边形的性质及相等向量的定义可得答案 解析 选D 由图可知 但不共线 故故选D 补偿训练 如图所示 四边形ABCD为正方形 BCE为等腰直角三角形 1 找出图中与共线的向量 2 找出图中与相等的向量 3 找出图中模与 相等的向量 4 找出图中与相等的向量 解析 1 与共线的向量有 2 与相等的向量有 3 模与 相等的向量有 4 与相等的向量有 易错误区 特殊向量在应用中的误区 典例 下列命题中 正确的是 A 若a b 则a与b的方向相同或相反B 若a b b c 则a cC 若两个单位向量互相平行 则这两个单位向量相等D 若a b b c 则a c 解析 选D 由于零向量的方向是任意的 且规定与任一向量平行 故取a 0 则对于任意向量b 都有a b 知A错 取b 0 则对于任意向量a c都有a b b c 但得不到a c 知B错 两个单位向量互相平行 方向可能相反 知C错 由两向量相等的概念知D正确 常见误区 防范措施 重视特殊向量在解题中的应用特殊向量的性质往往与一般向量有所不同 在解题过程中应单独加以验证 不能混淆 否则在解决相关问题过程中容易出错 如本例中涉及零向量的性质 即零向量与任意向量平行 解题时要验证取零向量时是否成立 类题试解 下列四个命题 若 a 0 则a 0 若 a b 则a b 若a与b是平行向量 则 a b 若a与b满足 a b 且a与b同向 则a b 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 选A 因为若 a 0 则a为零向量 即a 0 故 正确 若 a b 则两个向量大小相等 但方向不确定 故a b不一定成立 故 错误 若a与b是平行向量 则向量a与b的方向相同或相反 但大小关系不确定 故 错误 向量不能比较大小 故 错误 故正确命题的个数是1