高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教版选修2-1.ppt

第二章圆锥曲线与方程2 1曲线与方程2 1 1曲线与方程 曲线的方程和方程的曲线的定义 这个方程的解 曲线上的点 判断 正确的打 错误的打 1 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线上 那么方程f x y 0就是曲线的方程 2 如果f x y 0是某曲线C的方程 则曲线上的点的坐标都适合方程 3 x2 y2 1 x 0 表示的曲线是单位圆 提示 1 错误 曲线的方程必须满足两个方面 2 正确 满足曲线的方程的定义 3 错误 x2 y2 1 x 0 表示以 0 0 为圆心 以1为半径的圆在y轴右侧的部分 答案 1 2 3 知识点拨 曲线与方程的定义的三点说明 1 纯粹性 定义中的条件 阐明曲线上没有坐标不是方程的解 也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 2 完备性 定义中的条件 阐明符合条件的所有解对应的点都在曲线上而毫无遗漏 3 实质 定义的实质是平面曲线的点集 M P M 和方程f x y 0的解集 x y f x y 0 之间的一一对应关系 具体如下 由曲线和方程的这一对应关系 既可以通过方程研究曲线的性质 又可以通过曲线求出曲线的方程 类型一曲线的方程与方程的曲线的概念 典型例题 1 设方程f x y 0的解集非空 如果命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线C上 是不正确的 则下面命题中正确的是 A 坐标满足f x y 0的点都不在曲线C上B 曲线C上的点的坐标不满足f x y 0C 坐标满足f x y 0的点有些在曲线C上 有些不在曲线C上D 一定有不在曲线C上的点 其坐标满足f x y 0 2 已知点M m 在方程x2 y 1 2 10表示的曲线上 求实数m的值 解题探究 1 在什么条件下才能判断方程是曲线的方程 曲线是方程的曲线 2 点在方程所表示的曲线上的含义是什么 探究提示 1 判断方程是曲线的方程 曲线是方程的曲线时 必须具备两个条件 即 曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 二者缺一不可 是不可分割的整体 2 点在方程表示的曲线上的含义是此点的坐标满足此曲线的方程 即把点的坐标代入方程成立 解析 1 选D 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线C上 不正确 就是说 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线C上 是正确的 这意味着一定有这样的点 x0 y0 虽然满足方程f x0 y0 0 但 x0 y0 C 即一定有不在曲线C上的点 其坐标满足f x y 0 故应选D 2 点M m 在方程x2 y 1 2 10表示的曲线上 x y m适合方程x2 y 1 2 10 即 2 m 1 2 10 解得m 2或m 故实数m的值为2或 拓展提升 1 判断 方程是曲线的方程 和 曲线是方程的曲线 的方法2 点P x0 y0 与曲线C f x y 0的关系 1 点P在曲线C上 f x0 y0 0 2 点P不在曲线C上 f x0 y0 0 变式训练 以方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线C上的点 是 曲线C的方程是f x y 0 的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解题指南 解决本题的关键是分清楚哪个是条件 哪个是结论 然后考虑是否满足两个条件 解析 选B 曲线C的方程是f x y 0 以方程f x y 0的解为坐标的点是曲线C上的点 但满足f x y 0不能说明 f x y 0 为曲线方程 类型二曲线与方程的判定问题 典型例题 1 方程 x y 1 0表示的曲线是 A 两条互相垂直的直线B 两条射线C 一条直线和一条射线D 一个点 2 1 2 下列方程表示如图所示的直线C 对吗 为什么 1 0 2 x2 y2 0 3 x y 0 解题探究 1 必修2中接触到的曲线有哪些 它们对应的方程分别是什么 2 判断方程表示什么类型曲线一般先从哪里入手 探究提示 1 必修2中接触到的曲线主要有直线和圆 它们所对应的方程分别是Ax By C 0 AB 0 x a 2 y b 2 r2 2 判断方程表示何种曲线 一般先把方程化为熟悉的类型 如直线 圆的方程形式 解析 1 选C x y 1 0 或x y 3 0 前者表示射线x y 1 0 x 2 后者表示一条直线 2 1 不对 方程 0中 须x 0 y 0 所以 0表示直线C中第一象限的部分 2 不对 方程x2 y2 0可化为x2 y2即 x y 它表示四个象限的角平分线即y x 3 不对 方程 x y 0可化为y x 如点 1 1 满足方程 但不在直线C上 互动探究 若把题1中的方程改为 x y 1 1 0 表示什么曲线 解题指南 解答本题 要注意题目中的隐含条件x 3 0 解析 因为 x y 1 1 0 所以可得或者 1 0 也就是x y 1 0 x 3 或x 4 故方程表示一条射线和一条直线 拓展提升 1 曲线与方程的判定技巧 1 若方程f x y 0无实数解 则与之对应的曲线是不存在的 反之曲线不存在 则方程f x y 0无实数解 2 判断点是否在曲线上 其实质就是判断点的坐标是否适合曲线的方程 3 判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线 只要一一检验定义中的 两条性质 是否都满足 并作出相应的回答即可 这是解决 曲线 与 方程 问题的关键 2 方程表示的曲线的判断步骤 变式训练 方程所表示的曲线图形是 A 两条线段B 两条直线C 两条射线D 一条直线和一条线段 解析 选A 原方程可化为1 x 1 y 即y x 又1 y 0即y 1 1 x 0即 1 x 1 方程表示如图所示的两条线段 类型三曲线的交点问题 典型例题 1 若直线x 2y 2k 0与y x k的交点在曲线x2 y2 25上 则k的值是 A 1B 1C 1或 1D 以上都不对2 求直线y x 3被抛物线y 2x2截得的线段的长度 解题探究 1 怎样求曲线的交点 2 两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 之间的距离公式是什么 探究提示 1 解两条曲线的方程联立的方程组 可以求出曲线的交点 2 若P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 解析 1 选C 联立得方程组解得交点为 4k 3k 代入圆的方程中 即 4k 2 3k 2 25 k 1 2 方法一 由解得或即直线与抛物线的交点坐标为A 1 2 B 所截线段的长为 方法二 设直线y x 3与抛物线y 2x2的交点坐标为A x1 y1 B x2 y2 则由方程组得2x2 x 3 0 0 又 A x1 y1 B x2 y2 都在直线y x 3上 y1 x1 3 y2 x2 3 y2 y1 x2 x1 AB 所截线段的长为 拓展提升 1 求曲线交点的三个步骤 2 两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系曲线C1 C2的方程分别为f x y 0和g x y 0 1 若P x0 y0 为C1 C2交点 则 2 交点的个数与的解的组数相同 特别地 C1与C2没有公共点 没有解 变式训练 已知两曲线的方程为C1 2x 5y 5 0 C2 y 判断两曲线有无交点 若有交点 求出交点坐标 若无交点 说明理由 解题指南 两曲线的交点坐标即两曲线方程的公共解 将两曲线方程联立方程组 方程组有几组解 则两曲线就有几个交点 故将两曲线交点问题转化为方程组解的个数问题 解析 联立得方程组由 消去y得2x2 5x 50 0 25 4 2 50 0 因为方程 无实数解 从而方程组无实数解 因此曲线C1 2x 5y 5 0与C2 y 无交点 易错误区 方程变形中不是恒等变换致误 典例 2013 沧州高二检测 方程 x y xy 1表示的曲线是 解析 对于方程 x y xy 1 x 0 y 0时 x y xy 1即 x 1 1 y 0 也就是x 1 y 1 这时曲线表示x 1 y 1在第一象限的部分及x轴 y轴上的点 1 0 和 0 1 x 0 y 0时 x y xy 1即 x 1 y 1 0 这时曲线表示x 1 y 1在第四象限的部分及x轴 y轴上的点 1 0 和 0 1 x 0 y 0时 x y xy 1 即 x 1 y 1 0 这时曲线表示x 1 y 1在第二象限的部分及x轴 y轴上的点 1 0 和 0 1 x 0 y 0时 x y xy 1即 x 1 y 1 0 这时曲线表示x 1 y 1在第三象限的部分及x轴 y轴上的点 1 0 和 0 1 故综上可知 x y xy 1表示的曲线为x 1 y 1四条直线 答案 四条直线 误区警示 防范措施 1 合理进行分类讨论解决带有绝对值符号的题目 首先要正确地分类 在统一的分类标准下 把不确定元素进行分类讨论 如本例中x y根据题意分了四种情况讨论 2 条件结论并向分析解决问题时多观察 多思考 要适时把条件和结论并向分析 同时可以从结论选项中找出差别 有利于解题 如本例中每种讨论的结果都要结合所对应的条件分析所对应的曲线 类题试解 方程y 所表示的曲线是 解析 y x 1 所以方程表示直线y x 1 y x 1在x轴及x轴上方的部分 即两条射线 答案 两条射线 1 直线x y 0与曲线xy 1的交点是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 1 1 D 0 0 解析 选C 由得或 2 下面四组方程表示同一条曲线的一组是 A y2 x与y B y lgx2与y 2lgxC 1与lg y 1 lg x 2 D x2 y2 1与 y 解析 选D 主要考虑x y的取值范围 A中y2 x中y R 而y 中y 0 B中y lgx2中x 0 而y 2lgx中x 0 C中 1中y R x 2 而lg y 1 lg x 2 中y 1 x 2 故只有D正确 3 已知直线l x y 3 0及曲线C x 3 2 y 2 2 2 则点M 2 1 A 在直线l上 但不在曲线C上B 在直线l上 也在曲线C上C 不在直线l上 也不在曲线C上D 不在直线l上 但在曲线C上 解析 选B 因为点M 2 1 适合于直线x y 3 0 也适合于曲线 x 3 2 y 2 2 2 所以点M在直线l上 也在曲线C上 4 已知0 2 点P cos sin 在曲线 x 2 2 y2 3上 则 的值是 解析 因为P cos sin 在曲线 x 2 2 y2 3上 cos 2 2 sin2 3 整理得cos 又 0 2 答案 5 方程 x2 4 2 y2 4 2 0表示的图形是 解析 由得或或或故方程 x2 4 2 y2 4 2 0表示的图形是四个点 答案 四个点 6 判断下列说法是否正确 1 方程 x y 0表示的曲线是圆或直线 2 方程2x2 y2 4x 2y 3 0表示一个点 解析 1 错误 由 x y 0得或x2 y2 4 0 前者表示直线y x在圆x2 y2 4外的两条射线 包括端点 后者表示圆x2 y2 4 所以表示的是圆和两条射线 2 正确 方程左边配方得2 x 1 2 y 1 2 0 由2 x 1 2 0 y 1 2 0 知解得故方程表示的图形是一个点且坐标是 1 1