高中数学 1.7定积分的简单应用课件 新人教A版选修2-2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修2 2 导数及其应用 第一章 1 7定积分的简单应用 第一章 利用定积分的思想方法解决一些简单曲边图形的面积 变速直线运动的路程 变力做功等问题 重点 应用定积分的思想方法 解决一些简单的诸如求曲边梯形面积 变速直线运动的路程 变力作功等实际问题 难点 把实际问题抽象为定积分的数学模型 1 求平面图形的面积 1 求由一条曲线y f x 和直线x a x b a b 及y 0所围成平面图形的面积S 定积分的应用 新知导学 2 求由两条曲线f x 和g x 直线x a x b ag x 0 面积S 图 中 f x 0 g x 0 面积S 2 变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即s 3 变力做功一物体在恒力F 单位 N 的作用下做直线运动 如果物体沿着与F相同的方向移动了sm 则力F所做的功为W Fs 如果物体在变力F x 的作用下沿着与F x 相同的方向从x a移动到x b 则变力F x 做的功W 牛刀小试 2015 天津理 11 曲线y x2与直线y x所围成的封闭图形的面积为 不分割型平面图形面积的求解 分析 从图形上可以看出 所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差 进而可以用定积分求出面积 为了确定出积分的上 下限 我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标 方法规律总结 利用定积分求平面图形的面积的步骤 1 画出草图 在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象 2 将平面图形分割成曲边梯形 并分清在x轴上方与下方的部分 3 借助图形确定出被积函数 4 求出交点坐标 确定积分的上 下限 5 求出各部分的定积分 并将面积表达为定积分的代数和 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正 求出面积 分割型平面图形面积的求解 方法规律总结 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形 在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化 通过解方程组求出曲线的各交点坐标 可以将积分区间细化区段 然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和 在每个区段上被积函数均是由上减下 若积分变量选取x运算较为复杂 可以选y为积分变量 同时更改积分的上下限为y的对应值 被积函数也相应的改变 由曲线xy 1及直线y x y 2所围成的平面图形的面积为 变速直线运动的路程 位移问题 有一动点P从原点出发沿x轴运动 在时刻为t时的速度为v t 8t 2t2 速度的正方向与x轴正方向一致 求 1 t 6时 点P离开原点后运动的路程和点P的位移 2 经过时间t后又返回原点时的t值 2 用定积分解决简单的物理问题 关键是要结合物理学中相关的内容 将物理问题转化为定积分解决 求变力做功 设有一长25cm的弹簧 若加以100N的力 则弹簧伸长到30cm 求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功 被积函数和积分上下限确定不准致误 警示 用定积分求较复杂的平面图形的面积时 一要根据图形确定x还是y作为积分变量 同时 由曲线交点确定好积分上 下限 二要依据积分变量确定好被积函数 积分变量为x时 围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数 积分变量为y时 围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数 三要找准原函数