2019-2020年三年级数学 奥数讲座 包含与排除.doc

2019-2020年三年级数学 奥数讲座 包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1)两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 64-4 20(个)点。这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于A B- C。因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在AB中减去A和B互相包含的部分C。这种方法称为包含排除法。实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。例1 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 53- 4 87(厘米)。例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-1216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-1217(人)(见上页右下图)。由此得到参加语文或数学兴趣小组的有16 12 17 45(人)。根据包含排除法，直接可得28 29- 12 45(人)。例3 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？分析与解：与例2对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例2求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12 23- 5 30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为46- ( 12 23- 5) 16(人)。例4 三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？分析与解：因423476，7663，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63。由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-6313(人)。例5 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？分析与解：如右图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。前100个自然数中能被2整除的数有1002=50(个)。由 1003 33 1知，前 100个自然数中能被 3整除的数有 33个。由 100(23) 164知，前 100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有50 33- 16 67(个)。附送：2019-2020年三年级数学 奥数讲座 周期问题专题简析：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。例题1 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。326=5（组）2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。练 习 一1如图，算出第20个图形是什么？ 2“数学趣味题数学趣味题”依次重复排列，第xx个字是什么？3把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？ 例题2 2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？思路导航：我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过251=24天，247=3（星期）3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。练 习 二12001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？22001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？32001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？例题3 100个3相乘，积的个位数字是几？思路导航：这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3，积的个位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数字是3可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。1004=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。练 习 三123个3相乘，积的个位数字是几？2100个2相乘，积的个位数字是几？350个7相乘，积的个位数字是几？例题4 有一列数按“432791864327918643279186”排列，那么前54个数字之和是多少？思路导航：上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。548=6（组）6（个）因此，前6组数字和是（43279186）6=240，余下6个数字之和是432791=26。所以，这列数中前54个数字之和是24026=266。练 习 四1一列数按“294736294736294”排列，那么前40个数字之和是多少？2有一列数按“9453672945367294”排列，那么前50个数字之和是多少？3有一列数“7231652316523165”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？例题5 小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？思路导航：已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128（13）=32个周期，所以这本童话书共有插图332=96页。练 习 五1校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆月季花？2同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？3一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？