2019人教A版数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》教案精讲.doc

2019人教A版数学必修一3.2.2函数模型的应用实例教案精讲读教材填要点函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：小问题大思维1在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？提示：函数模型解析式正比例函数模型f(x)(k为常数，k0)一次函数模型二次函数模型f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b0，b1)对数函数模型幂函数模型提示：f(x)kx(k为常数，k0)反比例函数模型f(x)kxb(k，b为常数，k0)f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，a0，a1)f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n1)2在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？提示：实际问题有意义例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等已知函数模型的应用题例1某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t)；(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)自主解答(1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f(t)由图2可得，种植成本与时间的函数关系为g(t)(t150)2100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)f(t)g(t)，即h(t)当0t200时，配方整理，得h(t)(t50)2100，所以，当t50时，h(t)取得区间0,200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：图表中的第一步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题因此，这一步称之为数学解决；第三步：，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论1某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元(用数字作答)解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：500.568(20050)0.598118.1(元)；低谷时间段100千瓦时的用电电费为：500.288(10050)0.31830.3(元)合计：148.4(元)答案：148.4指数函数、对数函数及幂函数模型例2某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？解本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100(110%5)150万元本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100(19%)5153.86万元由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.220世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：MlgAlgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解：(1)Mlg Alg A0lglg4.即这次地震的震级为4级(2)，lg3，1 000.即所求是1 000倍拟合函数模型的建立及应用例3为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？自主解答(1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb.取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入yaxb，得用计算器可算得a1.8，b2.4.这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：(1)根据原始数据，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.3某汽车公司曾在xx年初公告：xx年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标xx年，某汽车年销量8万辆；xx年，某汽车年销量18万辆；xx年，某汽车年销量30万辆如果我们分别将xx,xx,xx,xx年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数型g(x)abxc(a0，b1，b0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？解：建立年销量y(万辆)与第x年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)构造二次函数型f(x)ax2bxc(a0)，将点的坐标代入，可得解得则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为4.7.(2)构造指数函数型g(x)abxc，将点的坐标代入，可得解得则g(x)()x42，故g(4)()44244.4，与计划误差为5.1.由上可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系.解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧Cm是半圆，曲边形ABCD的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大巧思凹槽的强度最大，即横截面的面积最大只要将凹槽横截面的面积S表示成x的函数，然后求函数的最值即可解决妙解(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x，42x2yx，y.依题意知：0xy，得0x，y(0x)(2)依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有TS(2xy)(2x)4x(2)x2(x)2.0，当x时，凹槽的强度最大1若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()Ay(0.957 6)By(0.957 6)100xCy()x Dy1(0.042 4)解析：设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%1(1t)100，t1()，y(1t)x(0.9576).答案：A2一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时24时)体温的变化情况的是()解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.答案：C3一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数Vf(h)的图象大致是()解析：水深h越大，水的体积V就越大，故函数Vf(h)是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的答案：D4某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金_元解析：设第n(nN*)天收费y元，由题意得yn10时，y1.60.585.6(元)答案：5.65.如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费_元；通话5分钟，需付电话费_元；如果t3分钟，电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式是_解析：t2时，y3.6，t5时，y6.当t3时，设yktb.代入(3,3.6)，(5,6)得k1.2，b0，y1.2t(t3)答案：3.6,6，y1.2t(t3)6在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元y(505x)(1206x)y30(x5)26 750当x5时，ymax6 750，这时每件棉衣日租金为505x505575元棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元一、选择题1向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小答案：B2光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg30.477 1)()A10 B11C12 D13解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则ya(1)x(xN*)，令ya，即a(1)xa，()x.10.4.即x10.4.答案：B3令有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()Aulog2t Bu2t2Cu Du2t2解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它散点图如图所示由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t3时，2t22326，排除B，故选C.答案：C4一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么()A人可在7秒内追上汽车B人可在10秒内追上汽车C人追不上汽车，其间距最少为5米D人追不上汽车，其间距最少为7米解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则st2，车与人的间距d(s25)6tt26t25(t6)27，当t6时，d取得最小值为7.答案：D二、填空题5.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销量情况，下列叙述：产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产；产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量你认为较合理的叙述是_解析：由图可知，对相同的年份，年产量销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故不正确答案：6.如图，开始时桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1aent(n为常数，t为注水时间)，那么桶2中的水就是y2aaent.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过_分钟桶1中的水只有.解析：由于t5时两桶中的水相等，所以aen5aaen5，所以(en)5，即en().由条件可得aent，即()()3，所以t15.答案：157某地2002年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使xx年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为_万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.0191.093 7,1.01101.104 6,1.01111.115 7)解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则7，解得x82.2782.答案：828.2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y()ta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室解析：(1)由图可设ykt(0t0.1)，把点(0.1,1)分别代入ykt和y()ta，得k10，a0.1.y(2)由()t0.10.6.答案：(1)y(2)0.6三、解答题9某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙与购买台数x之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y甲y乙5 100x(xN)，(2)当x10时，显然y甲y乙；当x10时，令y甲y乙，即4 200x18 0005 100x，解得：x20.故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司10xx年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？解：(1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为Sat2btc(a0)由题意，得或或无论哪个均可解得a，b2，c0；所求函数关系式为St22t；(2)把S30代入，得30t22t，解得t110，t26(舍去)，截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元；(3)把t7代入，得S722710.5(万元)，把t8代入，得S822816(万元)则第八个月获得的利润为1610.55.5(万元)，第8个月公司所获利润为5.5万元