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4.3 空间直角坐标系核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134P137，回答下列问题(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|.如图，在RtP1HP2中，|P1H|MN|，根据勾股定理，得|P1P2|.2归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标(4)空间两点间的距离公式点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|.任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2| .问题思考(1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？思考1上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和2.思考2上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)思考3对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示讲一讲1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标(链接教材P135例1)尝试解答以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，AO2，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，1,3)空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py、Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题练一练 1如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点已知|AB|2，|VO|3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标解：底面是边长为2的正方形，|CE|CF|1.O点是坐标原点，C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，1,0)，A(1，1,0)，D(1,1,0)V在z轴上，V(0,0,3)讲一讲2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标尝试解答(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：关于原点对称的点的坐标是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(x，y，z)；关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，z)；关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(x，y，z)；关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，y，z)练一练 2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(5,4,3)的对称点的坐标解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，4)(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得5，4，3，即x2(5)(2)8，y2417，z2342，故P3(8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)思考1如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|x1x2|x2x1|.思考2如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d|PQ| .思考3若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似讲一讲3已知点A(4，1，9)，B(10,1，6)，C(2，4，3)，试判断ABC的形状尝试解答|AB|7，|BC|7，|AC|7，则|AB|AC|，且|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC为等腰直角三角形求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定练一练3已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，1)(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|MQ|.解：(1)|PQ|.(2)设M(0,0，z)，由|MP|MQ|，得1202(z1)24232(z1)2，z6.M(0,0，6)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用2本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六)学业水平达标练题组1空间直角坐标系的建立及坐标表示1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()Ay轴上BxOy平面上CxOz平面上 D第一象限内解析：选C点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上2在空间直角坐标系中，点P(4,3，1)关于xOz平面的对称点的坐标是()A(4，3，1) B(4,3，1)C(3，4,1) D(4，3,1)解析：选A过点P向xOz平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOz平面的对称点P连线的中点，又N(4,0，1)，所以对称点为P(4，3，1)3已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_解析：设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4,0，1)答案：(4,0，1)4点P(1,2，1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则xyz_.解析：点P(1,2，1)在xOz平面内的射影为B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.答案：05如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标解：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示分别设|AB|1，|AD|2，|AA1|4，则|CF|AB|1，|CE|AB|，所以|BE|BC|CE|2.所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)6如图，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且BDC90，DCB30，求点D的坐标解：过点D作DEBC，垂足为E.在RtBDC中，BDC90，DCB30，BC2，得|BD|1，|CD|，|DE|CD|sin 30，|OE|OB|BE|OB|BD|cos 601，点D的坐标为.题组2空间两点间的距离7(2016长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2解析：选D由题意得2，解得x2或x6.8在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为_解析：由A(3，1,2)，中心M(0,1,2)，所以C1(3,3,2)正方体体对角线长为|AC1|2，所以正方体的棱长为.答案：能力提升综合练1在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A9 B.C5 D2解析：选B由已知求得C1(0,2,3)，|AC1|.2点A(1,2，1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为()A2 B4 C2 D2解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，2,1)，故|BC| 4.3ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A. B2 C. D3解析：选CBC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0,1)，|AM|.4在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A. B. C. D.解析：选A设P(x，y，z)，由题意可知x2y2z2，.5在空间直角坐标系中，点(1，b,2)关于y轴的对称点是(a，1，c2)，则点P(a，b，c)到坐标原点O的距离|PO|_.解析：点(1，b,2)关于y轴的对称点是(1，b，2)，所以点(a，1，c2)与点(1，b，2)重合，所以a1，b1，c0，所以|PO|.答案：6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，由题意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，则E.所以|EF| .答案：7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，|DD1|CC1|AA1|2，C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，A1(0,0,2)N为CD1的中点，N.M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，M(1,1,2)由两点间距离公式，得|MN| .8如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.
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