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小专题(三)利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决.类型1平面上的最短路径问题1.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是(C)A.17B.6C.26D.72.如图,在ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为(D)A.4.8B.8C.8.8D.9.83.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作ABBD,EDBD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示)(2)求AC+CE的最小值.解:(1)AC+CE=AB2+BC2+CD2+DE2=25+(8-x)2+1+x2.(2)如图,连接AE交BD于点C1,此时AC+CE有最小值.平移DE至BF.则BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6,AC+CE的最小值AE=AF2+EF2=62+82=10.4.如图,A,B两个村子在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,CD=3 km.现在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/km.(1)请你在河CD边上作出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省;(2)求出铺设水管的总费用.答案图解:(1)O点如图所示.(2)由(1)可知A1B=32+(3+1)2=5 km,总费用为200005=100000元.类型2曲面上的最短路径问题5.如图,一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为(D)A.3aB.(1+2)aC.3aD.5a6.如图,已知圆柱的底面直径BC=6,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为(D)A.32B.35C.65D.627.图1为一个无盖的正方体纸盒,现将其展开成平面图,如图2.已知展开图中每个正方形的边长为1.(1)求该展开图中可画出的最长线段的长度,并求出这样的线段可画几条;(2)试比较立体图中ABC与平面展开图中ABC的大小关系.解:(1)最长线段如图中的AC,在RtACD中,CD=1,AD=3,由勾股定理得AC=10.这样的线段可画4条(另三条用虚线标出).(2)由题可知,ABC=90.在平面展开图中,连接线段BC.由勾股定理可得AB=5,BC=5,AC=10,AB2+BC2=AC2,由勾股定理的逆定理可得ABC为直角三角形,ABC=90,ABC与ABC相等.
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