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20172018学年度第二学期期末考试高二数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个符合题目要求的选项）1.（）A. 0 B. 2 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】由题意运用复数的乘法法则展开求出结果【详解】故选B【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘法运算，属于基础题，注意不要在数字运算上出错2.设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，然后利用并集的定义即可求得答案【详解】A=x|(x-1)(x+1)(x+3)=0，A=1，1，-3，B=1，0，1，则AB=3，1，0，1故选A【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题3.设命题P：nN，n22n,则p为（）A. nN，n22n B. nN，n22nC. nN，n22n D. nN，n22n是全称命题根据全称命题否定的定义可得p为nN，n22n故选A【点睛】本题主要考查了含有全称量词命题的否定，属于基础题4.设非零向量a，b满足ab，则（）A. a=b B.b C. ab D. ab=a+b【答案】D【解析】【分析】由向量垂直结合向量的模进行判定【详解】已知ab，对于A，题目中没有给出向量的模，故a=b不一定成立，故错误，排除A对于B，ab故b错误，排除B对于C，题目中没有给出向量的模故无法判断模的大小，所以a5 C. i5或i6故选B【点睛】本题主要考查了补全程序框图，由已知的算式结合程序的循环次数来求出结果，较为基础10. 在ABC中，已知2sinAcosBsinC，则ABC一定是 （ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形【答案】B【解析】考点：两角和与差的正弦函数分析：根据三角形三个内角和为180，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B-A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAsinB-sinAcosB=0sin（B-A）=0，A和B是三角形的内角，B=A故选B11.如图是两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为x1和x2，标准差依次为s1、s2，那么（）（注:标准差s=1n(x1x)2+(x2x)2+.+(xnx)2A. x1x2,s1s2B. x1x2,s1s2C. x1x2,s1s2D. x1s2【答案】C【解析】【分析】由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为：(1)53，56，57，58，61，70，72(2)54，56，58，60，61，72，73x1=50+173+6+7+8+11+20+22=61kg，x2=50+174+6+8+10+11+22+23=62kg，s1=1753-612+56-612+.+72-612=3167，s2=1754-622+56-622+.+73-622=3427，则x1x2,s1ax”恒成立，即x+1exax在R上恒成立当x=0时，该不等式显然成立当x0时，a1+1xex，设gx=1+1xex，显然gx在0，+上单调递减，且当x+时，gx1，则a1当x1+1xex恒成立，由可知gx=-x+1exxex2=-x+1x2ex，当x-，-1时，gx0，gx单调递增，当x-1，0时，gx1-e,则1-ea1综上，则实数的取值范围是-，1-e1，+故选D【点睛】本题主要考查了不等式的知识，考查了转化与化归的思想，运算求解的能力，本题中的存在问题可以转化为任意问题，通过否定即可解决，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为_.【答案】5【解析】f(x)22+1=5【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为y=Asin(x+)+B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征一般可利用|asinx+bcosx|a2+b2求最值14.若变量x,y满足约束条件y1x+y0xy20，则z=x2y的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，当直线x2y=0移动到A时，z=x2y取得最大值，由xy2=0x+y=0x=1y=1，所以A(1,1)，此时z=3.考点：简单的线性规划.【易错点睛】线性规划问题主要考查学生的作图能力和用图意识和数形结合的思想方法，属于基础题.作图时应先从整体上把握好约束条件中各直线的横截距和纵截距，选择合理的长度单位，同时每作一条直线及时标注方程并判断区域，避免最后混淆，作目标函数时要注意比较其斜率与约束条件中边界直线的斜率进行比较，准确判断其倾斜程度为正确找到最优点创造条件，最后就是注意“截距型”目标函数的截距与的符号是否一致，若符号相反，则截距最大，最小；截距最小，最大.15.设曲线y=axln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= 【答案】a=3【解析】试题分析：函数y=axln(x+1)的定义域为(1,+)，y=a1x+1，由题意知2=a10+1a=3考点：导数的几何意义16.已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线x2a2y2=1的一个焦点重合，则双曲线的离心率为_.【答案】233【解析】【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而求得双曲线的离心率【详解】抛物线y2=8x的焦点坐标为2，0抛物线y2=8x的焦点与双曲线x2a2-y2=1的一个焦点重合，a2+1=4，a=3，则e=ca=23=233故答案为233【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题三、解答题（本大题6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17.在ABC中，角A，B，C的对边分别是，b，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列.（1）求B；（2）若a+c=332，b=3，求ABC的面积.【答案】(1)B=3；(2)5316.【解析】【分析】（1）由题意可知2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理边化角整理可得2sinBcosB=sin(A+C)，据此可知cosB=12，B=3.（2）由题意结合余弦定理整理计算可得ac=54，结合三角形的面积公式可得SABC=5316.【详解】（1）ccosA，bcosB，acosC成等差数列,2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB，R为ABC外接圆的半径，代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin(A+C).又A+C=-B，2sinBcosB=sin(-B)，即2sinBcosB=sinB.而sinB0，cosB=12，由0B，得B=3.（2）cosB=a2+c2-b22ac=12，(a+c)2-2ac-b22ac=12，又a+c=332，b=3，274-2ac-3=ac，即ac=54，SABC=12acsinB=125432=5316.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.某机构有职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类）的调查，其结果如图：本科研究生35岁以下353550岁25b50岁以上42（1）随机抽取一人，是35岁以下的概率为1726，求a,b的值；（2）从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率【答案】(1)a=50,b=14 (2)P=815【解析】【分析】（1）由已知可得a+35130=1726，由此解得的值，再根据总数为130求出b的值（2）从50岁以上的6人中随机抽取两人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件，其中恰好只有一位研究生的概率的抽法共有8种，故可得答案【详解】（1）由已知可得a+35130=1726，解得a=50故b=130-50+35+25+4+2=14则b=14（2）从50岁以上的6人进行编号，四位本科生为：1，2，3，4，两位研究生为5，6从这6人中随机抽取两人，共有15种等可能发生的基本事件，分别为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种抽法其中恰好只有一位研究生的概率的抽法共有8种，分别为15，16，25，26，35，36，45，46故所求事件的概率为P=815【点睛】本题主要考查了古典概型以及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题。19.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，AA1平面ABC且AA1AB=3，D是BC的中点.（1）求证：平面ADC1平面DCC1；（2）在侧棱CC1上是否存在一点E，使得三棱锥CADE的体积是98，若存在，求CE长；若不存在，说明理由.【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】(1)先根据线面垂直性质得到ADCC1，然后再证明AD平面DCC1，依据面面垂直的判定定理证明平面ADC1平面DCC1(2)假设存在点E，利用等体积法VC-ADE=VE-ADC，求出CE的长，然后看点E是否在侧棱上【详解】(1) 三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC则ADCC1底面为正三角形，且D是BC的中点则ADBCBC与CC1是平面DCC1内两条相交直线则AD平面DCC1AC平面ADC1平面ADC1平面DCC1(2)假设在侧棱CC1上是否存在一点E，使得三棱锥CADE的体积是98，如下图所示：VC-ADE=VE-ADC，底面为边长为3的正三角形，D是BC的中点SADC=1232332=938,VE-ADC=13SADCCE,代入已知条件，解得CE=3即CE0恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得hx=fx-3x=lnx+x2-3xhx=2x2-3x+1xx0，令hx=2x2-3x+1x=0，可得x=12或x=1则当x0，121，+时，hx0，当x12，1时，hx0恒成立，即a2x+1xminx0时，2x+1x22，当且仅当x=22时等号成立故2x+1xmin=22则a22【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题21.在直角坐标系xOy中，椭圆C1:x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为F1、F2， F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2=53.（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足MN=MF1+MF2，直线l/MN，且与C1交于A、B两点，若OAOB=0，求直线的方程.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）由题为求椭圆方程，则需找出a,b，可由条件，先求出，再利用|MF2|=53，求出两曲线的交点坐标，利用椭圆的定义求出2a。得出方程.（2）问题为算直线方程，需两个条件。由条件MN=MF1+MF2及l/MN可得：直线的斜率：k=6，再设出直线的斜截式方程：与椭圆方程联立，结合条件OAOB=0，建立关于m的方程，可得所求的直线方程。试题解析：（1）的焦点F(1，0),|MF2|=53，代入抛物线方程，有，椭圆C1的方程为（2）点N满足MN=MF1+MF2，所以易知N与M关于原点对称，所以设直线l方程：联立直线和椭圆方程得到：设因为OAOB=0，所以代入韦达定理有所以直线l方程为考点：（1）椭圆与抛物线的几何性质及方程思想。（2）向量的几何意义及方程思想。【此处有视频，请去附件查看】(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin（为参数），直线的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin（为参数）.（1）求C和的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线所得线段的中点坐标为(1,2)，求的斜率【答案】（1）当cos0时，的直角坐标方程为y=tanx+2-tan，当cos=0时，的直角坐标方程为x=1（2）-2【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos0 与cos=0两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin,cos之间关系，求得tan，即得的斜率详解：（1）曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1当cos0时，的直角坐标方程为y=tanx+2-tan，当cos=0时，的直角坐标方程为x=1（2）将的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0因为曲线C截直线所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2，故2cos+sin=0，于是直线的斜率k=tan=-2点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是x=x0+tcosy=y0+tsin.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin ).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则tt1+t22，中点M到定点M0的距离|MM0|t|t1+t22|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.23.设函数f(x)=5|x+a|x2|.（1）当a=1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求的取值范围.【答案】(1)2,3.(2)6,2.【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|x+a|+|x2|4，再根据绝对值三角不等式得|x+a|+|x2|最小值，最后解不等式|a+2|4得的取值范围详解：（1）当a=1时，f(x)=2x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0的解集为x|-2x3（2）等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
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