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2017年江西省萍乡市高一年级数学竞赛试卷第卷（共60分）一、填空题（每题10分，共80分.）1. 若是单位向量，且，则_【答案】0【解析】2. 函数的值域为_【答案】【解析】时，x-1时，1-x0, -1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，图象的交点数共有_【答案】5故答案为54. 若4x=6y=9z，则1x2y+1z=_【答案】0.=lg19zlg9+1z=05. 已知02，sin+sin+sin=0，cos+cos+cos=0，则=_【答案】23【解析】cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，cos=coscos，sin=sinsin，sin2+cos2=1，(cos+cos)2+(sin+sin)2=1，整理得：2+2(coscos+sinsin)=1,即coscos+sinsin=12，cos()= 12，02，02=23或43.同理可得：cos()= 12,解得：=23或43。cos()= 12;解得：=23或43。02对一切实数xR+都成立，求实数k的取值范围.【答案】k212x2【解析】试题分析：函数f(x)=lnx+2x2+ax（aR）是偶函数得出a=0，证明出当x0时，f(x)为增函数，f(1)=2，根据单调性去掉f,得出x2+k2+1212，即得解试题解析：f(x)=lnx+2x2+ax（aR）是偶函数，当x0时，f(x)=f(-x)，得2ax=0对一切x0都成立，所以，a=0.于是f(x)=lnx+2x2设x1x20，f(x1)-f(x2)=lnx1+x12-lnx2-x22=lnx1x2+(x1-x2)(x1+x2)0，所以，当x0时，f(x)为增函数.x2+k2+1212，f(1)=2，于是，f(x2+k2+12)2即f(x2+k2+12)f(1)，所以x2+k2+121即k212-x2对一切实数xR+都成立.点睛：型如f(x2+k2+12)2的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记x表示不超过实数x的最大整数，在数列an中，a1=a2=12，an+1=2an+an1（n2），证明：i=220171ai1ai+1=1.【答案】见解析【解析】试题分析：由an+1=2an+an-1（n2）知，数列an为正项递增数列.把an+1=2an+an-1化为an+1-an-1=2an，两边同除an-1anan+1得1an-1an+1=12(1an-1an-1anan+1)，裂项相消求和i=220171ai-1ai+1=2-12a2017a2018，即得解.试题解析：由an+1=2an+an-1（n2）知，数列an为正项递增数列.又a3=2a2+a1=32，所以，i=220171ai-1ai+11a1a3=43.an+1=2an+an-1化为an+1-an-1=2an，两边同除an-1anan+1得1an-1an+1=12(1an-1an-1anan+1).因此，i=220171ai-1ai+1=12i=22017(1ai-1ai-1aiai+1)=12(1a1a2-1a2017a2018) =2-12a2017a20182故i=220171ai-1ai+1=111. 如图，定直线与定O相离，P为上任意一点，PA,PB为O的两条切线，A,B为两切点，OCl其垂足为点C，AB,OC交于点E，证明：OE为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为OAP=900，AMOP，由射影定理，得OA2=OMOP，因为PME=PCE=900，所以，P,C,E,M四点共圆，由圆幂定理得OMOP=OEOC结合两个等式即得解. 试题解析：连OA,OP，设M为OP，AB的交点，因为OAP=900，AMOP，由射影定理，得OA2=OMOP因为PME=PCE=900，所以，P,C,E,M四点共圆.由圆幂定理，得OMOP=OEOC所以，OA2=OEOC即OE=OA2OC（定值），所以，OE为定长.12. 有（）个整数：，满足，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，若为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，如果中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，若为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.如果中仅有一个偶数，则中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.
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