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2017年江西省萍乡市高一年级数学竞赛试卷第卷(共60分)一、填空题(每题10分,共80分.)1. 若是单位向量,且,则_【答案】0【解析】2. 函数的值域为_【答案】【解析】时,x-1时,1-x0, -1综上值域为故答案为点睛:分段函数求值域,先分段求,再求并集,注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数,图象的交点数共有_【答案】5故答案为54. 若4x=6y=9z,则1x2y+1z=_【答案】0.=lg19zlg9+1z=05. 已知02,sin+sin+sin=0,cos+cos+cos=0,则=_【答案】23【解析】cos+cos+cos=sin+sin+sin=0,cos=coscos,sin=sinsin,sin2+cos2=1,(cos+cos)2+(sin+sin)2=1,整理得:2+2(coscos+sinsin)=1,即coscos+sinsin=12,cos()= 12,02,02=23或43.同理可得:cos()= 12,解得:=23或43。cos()= 12;解得:=23或43。02对一切实数xR+都成立,求实数k的取值范围.【答案】k212x2【解析】试题分析:函数f(x)=lnx+2x2+ax(aR)是偶函数得出a=0,证明出当x0时,f(x)为增函数,f(1)=2,根据单调性去掉f,得出x2+k2+1212,即得解试题解析:f(x)=lnx+2x2+ax(aR)是偶函数,当x0时,f(x)=f(-x),得2ax=0对一切x0都成立,所以,a=0.于是f(x)=lnx+2x2设x1x20,f(x1)-f(x2)=lnx1+x12-lnx2-x22=lnx1x2+(x1-x2)(x1+x2)0,所以,当x0时,f(x)为增函数.x2+k2+1212,f(1)=2,于是,f(x2+k2+12)2即f(x2+k2+12)f(1),所以x2+k2+121即k212-x2对一切实数xR+都成立.点睛:型如f(x2+k2+12)2的题目肯定会用到函数的奇偶性,单调性,所以做题时从这两方面着手即可.10. 记x表示不超过实数x的最大整数,在数列an中,a1=a2=12,an+1=2an+an1(n2),证明:i=220171ai1ai+1=1.【答案】见解析【解析】试题分析:由an+1=2an+an-1(n2)知,数列an为正项递增数列.把an+1=2an+an-1化为an+1-an-1=2an,两边同除an-1anan+1得1an-1an+1=12(1an-1an-1anan+1),裂项相消求和i=220171ai-1ai+1=2-12a2017a2018,即得解.试题解析:由an+1=2an+an-1(n2)知,数列an为正项递增数列.又a3=2a2+a1=32,所以,i=220171ai-1ai+11a1a3=43.an+1=2an+an-1化为an+1-an-1=2an,两边同除an-1anan+1得1an-1an+1=12(1an-1an-1anan+1).因此,i=220171ai-1ai+1=12i=22017(1ai-1ai-1aiai+1)=12(1a1a2-1a2017a2018) =2-12a2017a20182故i=220171ai-1ai+1=111. 如图,定直线与定O相离,P为上任意一点,PA,PB为O的两条切线,A,B为两切点,OCl其垂足为点C,AB,OC交于点E,证明:OE为定长.【答案】见解析【解析】试题分析:因为OAP=900,AMOP,由射影定理,得OA2=OMOP,因为PME=PCE=900,所以,P,C,E,M四点共圆,由圆幂定理得OMOP=OEOC结合两个等式即得解. 试题解析:连OA,OP,设M为OP,AB的交点,因为OAP=900,AMOP,由射影定理,得OA2=OMOP因为PME=PCE=900,所以,P,C,E,M四点共圆.由圆幂定理,得OMOP=OEOC所以,OA2=OEOC即OE=OA2OC(定值),所以,OE为定长.12. 有()个整数:,满足,证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析:反证法来解决问题,若为奇数,由,得均为奇数推出矛盾,所以,中必有偶数,如果中仅有一个偶数,推出矛盾,所以中必至少有2个偶数,即得证试题解析:首先,为偶数,事实上,若为奇数,由,得均为奇数,而奇数个奇数和应为奇数,且不为0,这与矛盾,所以,为偶数所以,中必有偶数.如果中仅有一个偶数,则中还有奇数个奇数,从而,也为奇数,矛盾,所以,中必至少有2个偶数.由知,能被4整除.
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