2019版高考数学 6.1 不等关系与不等式课件.ppt

第六章不等式 推理与证明第一节不等关系与不等式 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 实数的大小顺序与运算性质的关系 a b a b a b 0 a b a b 0 a b 0 2 不等式的性质 对称性 a b 双向性 传递性 a b b c 单向性 可加性 a b a c b c 双向性 a b c d 单向性 b a a c a c b d 可乘性 a b c 0 ac bc a b cb 0 c d 0 单向性 乘方法则 a b 0 an bn n N n 1 单向性 开方法则 a b 0 n N n 2 单向性 ac bd 2 必备结论教材提炼记一记 1 倒数性质 设ab 0 则a b 双向性 2 有关分数的性质 若a b 0 m 0 则 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 比较法 作差或作商 2 数学思想 等价转化思想 放缩思想 3 记忆口诀 不等式性质的记忆口诀 对称传递性同向可加乘乘乘方开方不忘两端正 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 两个实数a b之间 有且只有a b a b a b三种关系中的一种 2 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数 不等号方向不变 3 一个非零实数越大 则其倒数就越小 4 同向不等式具有可加和可乘性 5 两个数的比值大于1 则分子不一定大于分母 解析 1 正确 两个实数a b之间的大小关系只有三种a b a b或a 4 5 正确 当这个比值中的分母小于零时 分子小于分母 当这个比值中的分母大于零时 分子大于分母 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5P74T3改编 下列四个结论 正确的是 a b cb d a b 0 cbd a b 0 a b 0 A B C D 解析 选D 利用不等式的同向可加性可知 正确 对 根据不等式的性质可知ac bd 故 不正确 因为函数是单调递增的 所以 正确 对 由a b 0可知a2 b2 0 所以所以 不正确 2 必修5P75B组T1改编 下列各组代数式的判断正确的是 x2 5x 61时 x3 x2 x 1 x2 y2 1 2 x y 1 解析 2x2 5x 9 x2 5x 6 x2 3 0 所以x2 5x 6 x 2 x 4 故 错误 当x 1时 x3 x2 x 1 x 1 x2 1 0 所以当x 1时 x3 x2 x 1 故 正确 x2 y2 1 2 x y 1 x 1 2 y 1 2 1 0 所以x2 y2 1 2 x y 1 故 正确 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 四川高考 若a b 0 c d 0 即得又a b 0 得从而有 2 2013 北京高考 设a b c R 且a b 则 A ac bcB C a2 b2D a3 b3 解析 选D y x3在 上为增函数 所以a3 b3 3 2015 东莞模拟 设a b R 若a b 0B a3 b3 0C a2 b2 0D a b 0 解析 选D 因为a b 0 所以 b a 所以b a 所以a b 0 考点1比较大小 典例1 1 2015 长春模拟 已知实数a b c满足b c 6 4a 3a2 c b 4 4a a2 则a b c的大小关系是 A c b aB a c bC c b aD a c b 2 已知a b是实数 且e a b 其中e是自然对数的底数 则ab与ba的大小关系是 解题提示 1 用作差法比较大小 2 构造函数利用函数的性质比较大小 规范解答 1 选A 因为c b 4 4a a2 2 a 2 0 所以c b 将题中两式作差得2b 2 2a2 即b 1 a2 因为所以1 a2 a 所以b 1 a2 a 所以c b a 2 令则f x 当x e时 f x f b 即 blna alnb ab ba 答案 ab ba 互动探究 本例 2 若条件变为a 0 b 0 且a b 试比较aabb与abba的大小 解析 当a b 0时 a b 0 则所以aabb abba 当b a 0时 则所以aabb abba 综上知aabb abba 规律方法 比较大小常用的方法 1 作差法 其步骤 作差 变形 判断差与0的大小 得出结论 注意 含根号的式子作差时一般先乘方再作差 2 作商法 其步骤 作商 变形 判断商与1的大小 得出结论 3 构造函数法 构造函数 利用函数单调性比较大小 变式训练 2014 肇庆模拟 实数a b c满足下列三个条件 d c a b c d a d0 得b d 又d c 故a c d b 答案 a c d b 加固训练 若实数a 1 比较a 2与的大小 解析 因为所以 a2 a 1 0 即a 1时 则有当1 a1时 则有综上知 当a1时 考点 利用不等式 组 表示不等关系 典例 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 甲 乙产品都需要在A B两台设备上加工 在A B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时 2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时 1小时 A B两台设备每月有效使用时数分别为400和500 写出满足上述所有不等关系的不等式组 解题提示 设出甲 乙两种产品的产量 再根据设备A B的有效使用时数 与甲 乙两种产品使用设备A B的工时数的关系列不等式组 规范解答 设甲 乙两种产品的产量分别为x件 y件 由题意可知 规律方法 利用不等式 组 表示不等关系的关键和注意点 1 关键 准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言 如不等式 2 注意点 注意 不超过 至少 低于 表示的不等关系 同时还应考虑变量的实际意义 变式训练 已知甲 乙 丙三种食物中维生素A B含量及成本如表 设用甲 乙 丙三种食物各xkg ykg zkg配成100kg的混合食物 并使混合物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B 试用x y表示混合食物成本C元 并写出x y所满足的不等关系 解析 依题意 得C 11x 9y 4z 又x y z 100 所以C 400 7x 5y由及z 100 x y 得所以x y所满足的不等关系为 加固训练 将一个三边长度分别为5 12 13的三角形的各边都缩短x 构成一个钝角三角形 试用不等式 组 表示x应满足的不等关系 解析 由题意知 考点2不等式性质及其应用知 考情利用不等式性质进行命题的判断是经常考查的考向 另外 不等式性质与充要条件相结合判断条件是一个重要的考向 主要以选择题和填空题为主 明 角度命题角度1 不等式是否成立的判断 典例2 2015 银川模拟 设a b 1 c 0 给出下列三个结论 ac bc logb a c loga b c 其中所有的正确结论的序号是 A B C D 解题提示 由不等式的性质可得 正确 由幂函数的单调性可得 正确 引入中间变量loga a c 可得 正确 规范解答 选D 对 a b 1 所以又因为cb 1 所以acb 1 c0 所以a c b c 1 所以logb a c loga a c loga b c 正确 故选D 命题角度2 充要条件的判断 典例3 设x R 则 x2 3x 0 是 x 4 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解题提示 求出不等式x2 3x 0的解集 根据 小范围 大范围 可判断 规范解答 选B 由x2 3x 0得x 3或x0是x 4的必要而不充分条件 故选B 悟 技法1 判断不等式命题真假的方法 1 判断不等式是否成立 需要逐一给出推理判断或反例说明 常用的推理判断需要利用不等式性质 2 在判断一个关于不等式的命题真假时 先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑 找到与命题相近的性质 并应用性质判断命题真假 2 充要条件的判断方法利用两命题间的关系 看p能否推出q 再看q能否推出p 充分利用不等式性质或特值求解 通 一类1 2015 合肥模拟 已知a b c满足c b a且ac 0 则下列选项中不一定成立的是 解析 选C 因为c b a且ac 0 所以c 0 a 0 所以但b2与a2的关系不确定 故不一定成立 2 2014 山东高考 已知实数x y满足axln y2 1 C sinx sinyD x3 y3 解题提示 本题考查了指数函数的性质 不等式的性质 先利用指数函数的性质判断x y的大小 然后判断每个选项 解析 选D 由axy 所以 3 2015 杭州模拟 已知a R 则 a 2 是 a2 2a 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 因为当 a 2 成立时 a2 2a a a 2 0 所以 a2 2a 成立 即 a 2 a2 2a 为真命题 而当 a2 2a 成立时 a2 2a a a 2 0 即a 2或a2不一定成立 即 a2 2a a 2 为假命题 故 a 2 是 a2 2a 的充分不必要条件 故选A 4 2015 济南模拟 若a 0 b a cbc a c b d a d c b d c 中正确的是 解析 因为a 0 b c0 所以ad0 b a 所以a b 0 因为c d 0 cd 0 所以a c b d 所以ac bd d 因为a b 所以a c b d 所以 正确 因为a 0 b d c 0 所以a d c b d c 所以 正确 答案 自我纠错13不等式性质的应用 典例 设f x ax2 bx 若1 f 1 2 2 f 1 4 则f 2 的取值范围是 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f 2 的范围扩大 规避策略 用不等式性质求代数式取值范围的途径利用不等式性质求某些代数式的取值范围时 多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围 解决此类问题一般是利用整体思想 通过 一次性 不等关系的运算求得整体的范围 是避免错误的有效途径 自我矫正 方法一 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得解得所以f 2 3f 1 f 1 又因为1 f 1 2 2 f 1 4 所以5 3f 1 f 1 10 故5 f 2 10 方法二 由f x ax2 bx得f 1 a b f 1 a b 由 得2a f 1 f 1 由 得2b f 1 f 1 从而f 2 4a 2b 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 f 1 因为1 f 1 2 2 f 1 4 所以3 1 2 3f 1 f 1 3 2 4 所以5 3f 1 f 1 10 所以f 2 的取值范围是5 f 2 10 即f 2 的取值范围是 5 10 答案 5 10