2019-2020年高中数学 第二章 推理与证明学案 新人教A版选修1-2.doc

2019-2020年高中数学 第二章 推理与证明学案 新人教A版选修1-22.1合情推理与演绎推理21.1合情推理归纳推理提出问题如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，OAn的长度构成数列an，问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值提示：由图知：a1OA11，a2OA2，a3OA3，a4OA42.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列an的通项公式an吗？提示：能猜想出an(nN*)问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180.问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论导入新知1归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理提出问题问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的.问题3：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征问题4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理导入新知1类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理2类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现数、式中的归纳推理例1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn，nN*.类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)活学活用将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，求第n行(n3)从左向右数第3个数解：前(n1)行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.图形中的归纳推理例2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31C32 D36(2)把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_解析(1)选B法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.故选B.(2)第七个三角形数为123456728.答案(1)B(2)28类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化活学活用如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中的顶点个数为()A(n1)(n2)B(n2)(n3)Cn2 Dn解析：选B第一个图形共有1234个顶点，第二个图形共有2045个顶点，第三个图形共有3056个顶点，第四个图形共有4267个顶点，故第n个图形共有(n2)(n3)个顶点.类比推理例3设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比数列答案类题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)活学活用已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1(a0，b0)写出类似的性质，并加以证明解：类似的性质为：已知M，N是双曲线1(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(m，n)点M(m，n)在已知双曲线1上，1，得n2m2b2，同理y2x2b2.y2n2(x2m2)则kPMkPN(定值)kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值典例三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心多维探究1解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四面体六面体球2常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：(1)三角形类比到三棱锥：例：在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则_”解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积”答案：SSSS(2)平行四边形类比到平行六面体：例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“_”解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和(3)圆类比到球：例：半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为：_.解析：通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现4R2，从而使问题解决答案：4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数(4)平面解析几何类比到空间解析几何：例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线AxByC0(A2B20)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面AxByCzD0(A2B2C20)的距离公式为d_.解析：类比平面内点到直线的距离公式d，易知答案应填.答案：随堂即时演练1根据给出的等式猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.2平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行解析：选D利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比3在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：184观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_解析：观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为132333435363(123456)2212.答案：1323334353632125.如图，已知O是ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A，B，C，则1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：1.运用类比猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明解：如图，设O为四面体VBCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V，B，C，D，类似结论为1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明因为(其中h，h分别为两个四面体的高)，同理，所以1.课时达标检测一、选择题1观察下列各式：7249,73343,742 041，则72 013的末两位数字为()A01 B43C07 D49解析：选C因为717,7249,73343,742 401，7516 807,76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T4.又2 01345031，所以72 013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929解析：选D等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a92229.3定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A(1)，(2) B(1)，(3)C(2)，(4) D(1)，(4)解析：选C解析：由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4)4古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024C1 225 D1 378解析：选C记三角形数构成的数列为an，则a11，a2312，a36123，a4101234，可得通项公式为an123n.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bnn2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.5将正整数排成下表：123 456 7 8 910 11 1213141516则在表中数字2 013出现在()A第44行第78列B第45行第78列C第44行第77列 D第45行第77列解析：选D第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421 936,4522 025，且1 9362 0132 025，2 013在第45行又2 0252 01312，且第45行有245189个数字，2 013在第891277列二、填空题6设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).答案：7在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程AxBy0(A，B不同时为0)表示过原点的直线类似地：在空间直角坐标系O xyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示_解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O xyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面答案：过原点的平面8在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图所示的六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图所示的六边形，第四件首饰由28颗珠宝构成如图所示的六边形，第五件首饰由45颗珠宝构成如图所示的六边形，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使其构成更大的六边形，依此推断第六件首饰上应有_颗珠宝，第n件首饰上应有_颗珠宝(结果用n表示)解析：设第n件首饰上所用珠宝数为an颗，据题意可知，a11，a26，a315，a428，a545，即a2a15，a3a29，a4a313，a5a417，所以a6a521，即a666，同理anan14n3(n2，nN*)，所以an1594n32n2n.答案：662n2n三、解答题9.如图所示，在ABC中，abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想SS1cos S2cos S3cos .10如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN*，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an9 900，问an是数列第几项？解：(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3,4,5，时的士兵人数分别为12,20,30，.故所求数列为6,12,20,30，.(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN*.(3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列21.2演绎推理演绎推理提出问题看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 0121)是奇数，所以(22 0121)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理问题2：第二句又说的什么？提示：都说的特殊示例问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断导入新知1演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理2三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.化解疑难辨析演绎推理与合情推理(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想把演绎推理写成三段论的形式例1将下列演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数(2)三角形的内角和为180，RtABC的内角和为180.(3)菱形对角线互相平分(4)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列解(1)一切奇数都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇数(结论)(2)三角形的内角和为180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的内角和为180.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分(大前提)菱形是平行四边形(小前提)菱形对角线互相平分(结论)(4)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列(大前提)通项公式an3n2，n2时，anan13n23(n1)23(常数)(小前提)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列(结论)类题通法三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果bc，ab，则ac.”其中，bc为大前提，提供了已知的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果活学活用把下列推断写成三段论的形式：(1)ysin x(xR)是周期函数(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若1和2是对顶角，则1和2相等解：(1)三角函数是周期函数，大前提ysin x(xR)是三角函数，小前提ysin x(xR)是周期函数结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提1和2是对顶角，小前提1和2相等结论三段论在证明几何问题中的应用例2已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是ABD和BCD的重心，求证：MN平面ACD.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是ABD和BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点又因为，所以MNPQ，又MN平面ADC，PQ平面ADC，所以MN平面ACD.类题通法三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论活学活用已知在梯形ABCD中，如图，ABCDAD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分BCD，DB平分CBA.证明：等腰三角形两底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，1和2是两个底角，(小前提)12.(结论)两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，(小前提)13.(结论)等于同一个角的两个角相等，(大前提)21，31，(小前提)23，即AC平分BCD.(结论)同理可证DB平分CBA.演绎推理在代数中的应用例3已知函数f(x)ax(a1)，求证：函数f(x)在(1，)上为增函数证明设x1，x2是(1，)上的任意两实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)ax1ax2ax1ax2ax1ax2，a1，且x1x2，ax1ax2，x1x20.又x11，x21，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数f(x)在(1，)上为增函数类题通法使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论(2)证明中常见的错误：条件分析错误(小前提错)定理引入和应用错误(大前提错)推理过程错误等活学活用已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)ba，m0，(小前提)所以，mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mbma，(小前提)所以，mbabmaab，即b(am)a(bm)(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(am)a(bm)，a(am)0，(小前提)所以，即.(结论)典例定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数证明：令xy0，则有f(0)f(0)2f(0)f(0)，因为f(0)0，所以f(0)1，令x0，则有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)，因此，f(x)是偶函数以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：_.解析通过两次赋值先求得“f(0)1”，再证得“f(y)f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”所以这个三段论推理的小前提是“f(y)f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数”答案若对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数易错防范解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提小前提结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误成功破障所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是_我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡解析：根据中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的不符合三段论的形式答案：随堂即时演练1“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等解析：选B得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”2“因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”上面推理错误的原因是()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都错导致结论错解析：选A大前提是错误的，因为对数函数ylogax(0a1)是减函数3求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a0，小前提是有意义，结论是_解析：由三段论的形式可知，结论是log2x20.答案：log2x204用三段论证明函数f(x)x在(1，)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：_大前提_小前提_结论答案：如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1x2，则f(x1)f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数任取x1，x2(1，)，x1x2，则f(x1)f(x2)，由于1x1x2，故x1x20，x1x21，即x1x210，所以f(x1)f(x2)函数f(x)x在(1，)上为增函数5将下列推理写成“三段论”的形式(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33是有理数解：(1)向量是既有大小又有方向的量大前提零向量是向量小前提零向量也有大小和方向结论(2)每一个矩形的对角线相等大前提正方形是矩形小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小数都是有理数大前提033是循环小数小前提033是有理数结论课时达标检测一、选择题1给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数结论结论显然是错误的，是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误举反例，如2是有理数，但不是真分数2“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于()A演绎推理 B类比推理C合情推理 D归纳推理解析：选A是由一般到特殊的推理，故是演绎推理3下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由三角形的性质，推测四面体的性质D在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：选AB项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理4“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)”上述推理是()A小前提错误 B结论错误C正确的 D大前提错误答案：C5有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况二、填空题6已知结论“函数y2x5的图像是一条直线”，若将其恢复成完整的三段论后，大前提是_解析：大前提：一次函数的图像是一条直线小前提：函数y2x5是一次函数结论：函数y2x5的图像是一条直线答案：一次函数的图像是一条直线7已知推理：“因为ABC的三边长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：ABC的三边长依次为3,4,5满足324252；结论：ABC是直角三角形答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8若不等式ax22ax20的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析：a0时，有20，显然此不等式解集为.a0时需有所以0a2.综上可知实数a的取值范围是0,2答案：0,2三、解答题9如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEFA，求证：EDAF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提所以DFEA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEFA，且DFEA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以EDAF.结论10已知函数f(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解：(1)证明：因为x，yR时，f(xy)f(x)f(y)，所以令xy0得，f(0)f(0)f(0)2f(0)，所以f(0)0.令yx，则f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)设x1，x2R且x1x2，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)，因为x0时，f(x)0，所以f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数，所以f(x)在3,3上的最大值为f(3)，最小值为f(3)因为f(3)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6，所以函数f(x)在3,3上的最大值为6，最小值为6._2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法综合法提出问题阅读下列证明过程，回答问题求证：是函数f(x)sin的一个周期证明：因为f(x)sinsinsinf(x)，所以由周期函数的定义可知，是函数f(x)sin的一个周期问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f(x)sin；结论：是f(x)的一个周期问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论导入新知1综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.分析法提出问题阅读下列证明过程，回答问题求证：2.证明：要证原不等式成立，只需证()2(2)2，即证22，该式显然成立，因此原不等式成立问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件导入新知1分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等综合法的应用例1已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.证明a，b，c是正数，b2c22bc，a(b2c2)2abc.同理，b(c2a2)2abc，c(a2b2)2abc.a，b，c不全相等，b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”式相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程活学活用已知a0，b0，且ab1，求证：9.证明：a0，b0，ab1，41552 549.当且仅当，即a2b时“”成立.分析法的应用例2设ab0，求证： ()证明因为ab0，所以a2abb2，所以abb20.要证 ( )，只需证，只需证 .而 显然成立所以 ()成立类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立活学活用在锐角ABC中，求证：tan Atan B1.证明：要证tan Atan B1，只需证1，A、B均为锐角，cos A0，cos B0.即证sin Asin Bcos Acos B，即cos Acos Bsin Asin B0，只需证cos(AB)0.ABC为锐角三角形，90AB180，cos(AB)0，因此tan Atan B1.综合法和分析法的综合应用例3已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.证明法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(综合法)因为ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题活学活用设a，b(0，)，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab2.典例(12分)设f(x)ax2bxc(a0)，若函数yf(x1)的图像与f(x)的图像关于y轴对称求证：f为偶函数解题流程规范解答法一：要证f为偶函数，只需证明其对称轴为直线x0，(2分)活学活用已知a，b，ab1，求证：2.证明：要证2，只需证2(ab)228.因为ab1，即证2.因为a，b，所以2a10,2b10，所以2.即2成立，因此原不等式成立随堂即时演练1下面叙述正确的是()A综合法、分析法是直接证明的方法B综合法是直接证法，分析法是间接证法C综合法、分析法所用语气都是肯定的D综合法、分析法所用语气都是假定的解析：选A直接证明包括综合法和分析法2欲证不等式 成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2解析：选C要证 成立，只需证 成立，只需证()2()2成立3已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.证明过程如下：a，b，c为正实数，且abc1，10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立这种证法是_(填综合法、分析法)解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法答案：综合法4将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立解析：用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)205已知a0，b0，求证： .(要求用两种方法证明)证明：法一：(综合法)因为a0，b0，所以(ab)0，所以.法二：(分析法)要证 ，只需证abab，即证(ab)()0，因为a0，b0，所以ab与符号相同，不等式(ab)()0成立，所以原不等式成立课时达标检测一、选择题1在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的过程：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2”中应用了()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法解析：选B符合综合法的证明思路2下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，)上是减函数，A项中，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数3设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4C1 D.解析：选B是3a与3b的等比中项3a3b33ab