2019-2020年高考数学一轮复习 坐标系训练 理 新人教A版选修4-4.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 坐标系训练 理 新人教A版选修4-4备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力2.以解答题形式出现，难度不大，如xx年新课标高考T23等.归纳知识整合1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，)(R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(，) 表示；同时，极坐标(，)表示的点也是惟一确定的探究1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径0，极角可取任意角3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：探究2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定0,02，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了4常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R) (2)和过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)自测牛刀小试1极坐标方程cos 化为直角坐标方程解：由cos 得2cos ，故x2y2x.2.(xx北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x1，所以其极坐标方程为cos 1.3在极坐标系中，求点A关于直线lcos 1的对称点的一个极坐标解：在直角坐标系中，A(0,2)，l：x1，点A关于l的对称点为(2,2)，所以2，所以此点极坐标为.4在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A、B两点，求AB的长解：曲线4cos ，即为圆x2y24x0，过A(3,0)且与极轴垂直的直线为x3，将x3代入x2y24x0，得y21293，解得y.故AB2.5已知圆的极坐标方程为2cos ，求该圆的圆心到直线sin 2cos 1的距离解：直线sin 2cos 1化为2xy10，圆2cos 的圆心(1,0)到直线2xy10的距离是.伸缩变换的应用例1求椭圆y21，经过伸缩变换后的曲线方程自主解答由得到将代入y21得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.若椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程为1，求满足的伸缩的变换解：设变换为代入1，得1，与y21的系数对比，得2，1，即因此经过变换后，椭圆y21变换为1.求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程1在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换后得到的曲线方程为ylg(x5)，求曲线C的方程解：将代入ylg(x5)得ylg(x5)，即y2lg(x5)为所求曲线C的方程.极坐标与直角坐标的互化例2已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程自主解答(1)由2知24所以x2y24；因为22cos2 ，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性2(xx佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P的极坐标解析：由极坐标与直角坐标的互化公式cos x，sin y可得，cos 1，sin ，解得2，2k(kZ)，故点P的极坐标为(kZ)3求以点A(2,0)为圆心，且过点B的圆的极坐标方程解：由已知圆的半径为AB 2，又圆的圆心坐标为A(2,0)，所以圆的普通方程为(x2)2y24.由得圆的极坐标方程是4cos .极坐标系的综合问题例3从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值自主解答(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程是x2y23x，即2y22，知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用；二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标4(xx西安五校联考)在极坐标系(，)(02)中，求曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标解：2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(1,1)，又00)的一个交点在极轴上，求a的值解直线方程为xy10，与x轴的交点为，圆的方程为x2y2a2，把交点代入得202a2，又a0，所以a.(1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程(2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况已知两曲线的极坐标方程C1：2(0)，C2：4cos ，求两曲线交点的直角坐标解：C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2y24(y0)，C2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x2)2y24.将两方程联立，解方程组得x1，y.又因为y0，舍去y，所以两曲线交点坐标为(1，)1已知直线的极坐标方程sin，求极点到直线的距离解：sin，sin cos 1，即直角坐标方程为xy1.又极点的直角坐标为(0,0)，极点到直线的距离d.2在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线方程为3x4ya0，又圆与直线相切，所以1，解得a2或a8.3(xx江西高考改编)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程解：将x2y22，xcos 代入x2y22x0得22cos 0，整理得2cos .4已知圆M的极坐标方程为24cos60，求的最大值解：原方程化为2460，即24(cos sin )60.故圆的直角坐标方程为x2y24x4y60.圆心为M(2,2)，半径为.故max|OM|23.5(xx江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .1设直线l1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l1的方程为sin 3cos 40，若直线l1与l2间的距离为，求实数a的值解：将直线l1的方程化为普通方程得3xya30，将直线l2的方程化为直角坐标方程得3xy40，由两平行线的距离公式得|a1|10a9或a11.2(xx江西高考改编)若曲线的极坐标方程为2sin4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程解：由2x2y2，得，22sin4cos x2y24x2y0.3极坐标系中，A为曲线22cos 30上的动点，B为直线cos sin 70上的动点，求AB的最小值解：将互化公式分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x1)2y24，圆心(1,0)，半径为2，直线方程为xy70，圆心到直线的距离d4.所以|AB|的最小值为42.4在极坐标系中，圆C的圆心C，半径r6.(1)写出圆C的极坐标方程；(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQQP32，求动点P的轨迹方程解：(1)圆C的极坐标方程12cos.(2)设P的坐标为(，)，因为P在O Q的延长线上，又O QQP32.所以点Q的坐标为，若Q点在圆C上运动，则12cos，即20cos.故点P的轨迹方程为20cos. 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解参数方程，了解参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.本节考查的重点是参数方程和直角坐标方程的互化，热点是参数方程、极坐标方程的综合性问题，难度较小，主要考查转化和化归的思想方法，如xx年新课标T23等.归纳知识整合1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y都可以表示为某个变量t的函数：反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线C的参数方程，变量t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程探究1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同2直线的参数方程经过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)3圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)4椭圆的参数方程椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)探究2.椭圆1(ab0)的参数方程(为参数)中，参数的几何意义是什么？提示：如图，取椭圆1(ab0)上任一点M作x轴垂线，交以原点为圆心，a为半径的圆于点A，就是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(或点M的离心角)即Ox绕O逆时针转到与OA重合时的最小正角，0,2)自测牛刀小试1若直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l倾斜角的余弦值解：消去参数，得直线l方程为4x3y100，所以tan ，cos .2已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求|PF|.解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y24x，则焦点F(1,0)，准线方程为x1.又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|3(1)4.3(xx中山模拟)将参数方程(为参数)化成普通方程解：将参数方程变形为(为参数)，平方相加得x2(y1)2cos2sin21，所以对应的普通方程为x2(y1)21.4求参数方程(t为参数)表示的曲线解：当t0时，xt2；当t0时，xt2，故此方程表示的曲线是两条射线5求椭圆1的参数方程解：设cos ，sin ，则(为参数)，即为所求的参数方程参数方程与普通方程的互化例1将下列参数方程化为普通方程(1)(2)自主解答(1)两式相除，得k，将其代入得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,2将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(t为参数)解：(1)x2y2221，x2y21.t210.t1或t1.又x，t0.当t1时，01，当t1时，10，C1与x轴的交点在C2上a.与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题2(xx广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，求它们的交点坐标解：由(0)得y21(y0)，由(tR)得xy2.联立方程可得则5y416y2160，解得y2或y24(舍去)，则xy21，又y0，所以其交点坐标为.3(xx扬州模拟)已知P(x，y)是椭圆y21上的点，求Mx2y的取值范围解：y21的参数方程(是参数)，设P(2cos ，sin )，Mx2y2cos 2sin 2sin，Mx2y的取值范围是2，2极坐标方程和参数方程的综合例3(xx辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程自主解答(1)圆C1的极坐标方程为2；圆C2的极坐标方程为4cos ；联立方程组解得2，.故圆C1，C2的交点极坐标为，.(2)由2，及得圆C1，C2的交点直角坐标为(1, )，(1，)，故圆C1，C2的公共弦的参数方程为(t)求参数方程与极坐标问题的转化方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意，的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同4直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(为参数)和曲线C2：1上，求|AB|的最小值解：曲线C1：(为参数)的直角坐标方程为(x3)2(y4)21，知C1是以(3,4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：1的直角坐标方程是x2y21，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离. 由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min115113.4种方法化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法. 数学思想参数方程中的转化思想在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想典例(xx浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标解C1的直角坐标方程为：y2x(x0)，C2的直角坐标方程为：x2y22，联立方程得：解得所以交点坐标为(1,1)(1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围(2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的(xx朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：(s为参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，求|AB|的长解：直线l可化为xy20，曲线C可化为y(x2)2，联立消去y得x23x20，解得x11，x22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|. 1直线(t为参数)被圆(为参数，求0,2)所截得的弦长解：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为xy10和(x3)2(y1)225，于是弦心距d，弦长l2.2(xx福州模拟)已知点P(x，y)在曲线1，且a2b23，求xy的最小值解：设xacos t，ybsin t(0t2)，则xyacos tbsin tcos(t)，因此，当3，cos(t)1时，xy取得最小值.3已知曲线C的参数方程为0,2)，曲线D的极坐标方程为sin.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由解：(1)由0,2)得x2y1，x1,1(2)由sin得曲线D的普通方程为xy20.得x2x30.解得x1,1，故曲线C与曲线D无公共点4(xx福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，圆C的参数方程为(为参数)(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，所以直线l的平面直角坐标方程为xy20.又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交5(xx新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,521(xx南京模拟)已知圆的极坐标方程为24cos50.(1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值解：(1)24cos50，22(cos sin )50.x2y22x2y50，即(x1)2(y)29.圆的参数方程为(为参数)(2)利用圆的参数方程可得：xy3sin 3cos 26sin2，xy的最大值为8，最小值为4.2(xx厦门模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2.(1)求直线l的直角坐标方程；(2)点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值解：(1)cos2化简cos sin 4，直线l的直角坐标方程为xy4；(2)设点P的坐标为(2cos ，sin )，得P到直线l的距离d，即d，其中cos ，sin .当sin()1时，dmax2.