阶常系数线性微分方程、欧拉方程.ppt

6 6二阶常系数线性微分方程与Euler方程 在二阶线性微分方程 非齐次线性微分方程 而称方程 6 49 则称 6 49 为二阶常系数 6 50 为与方程 6 49 对应的齐次线性微分方程 6 6 1二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程 称为二阶常系数齐线性微分方程 即 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 1 的两个线性无关的解 故方程 1 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式 由刘维尔公式求另一个解 于是 当特征方程有重实根时 方程 1 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3 特征方程有一对共轭复根 是方程 1 的两个线性无关的解 其通解为 由线性方程解的性质 均为方程 1 的解 且它们是线性无关的 故当特征方程有一对共轭复根 时 原方程的通解可表示为 二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特征根 通解形式 解 解 解 故所求特解为 解 略 解 取x轴如如图所示 由力学的虎克定理 有 恢复力与运动方向相反 由牛顿第二定律 得 记拉长后 突然放手的时刻为 我们要找的规律是下列初值问题的解 从而 所求运动规律为 n阶常系数齐线性微分方程 形如 的方程 称为n阶常系数齐线性微分方程 n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 特征根 通解中的对应项 解 例6 50 求下列方程的通解 解 故原方程的通解为 故原方程的通解为 6 6 2二阶常系数非齐线性微分方程 形如 的方程 称为二阶常系数非齐线性微分方程 它对应的齐方程为 我们只讨论函数f x 的几种简单情形下 2 的特解 方程 2 对应的齐方程 1 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 假设方程 有下列形式的特解 则 代入方程 2 得 即 由方程 3 及多项式求导的特点可知 应有 方程 2 有下列形式的特解 由多项式求导的特点可知 应有 方程 2 有下列形式的特解 由多项式求导的特点可知 应有 方程 2 有下列形式的特解 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解 其中 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程 得 比较两边同类项的系数 得 故原方程有一特解为 综上所述 原方程的通解为 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程 得 上式即 故原方程有一特解为 综上所述 原方程的通解为 解 综上所述 原方程的通解为 例6 54 解 代入原方程得 所以 故原方程的通解为 例6 55 解 根据定理6 7 P315 原方程的特解由 代入原方程得 故原方程的特解为 故原方程的通解为 例6 56 解 代入原方程得 于是 故原方程的通解为 故原方程满足初始条件的特解为 解 代入上述方程 得 从而 原方程有一特解为 解 代入上述方程 得 比较系数 得 从而 原方程有一特解为 故 解 由上面两个例题立即可得 解 对应的齐次方程的通解为 将它代入此方程中 得 从而 原方程有一特解为 故原方程的通解为 例6 59 解 原方程可化为 两端对x求导得 整理得 两端再对x求导得 此为常系数线性微分方程 其对应的齐次方程为 特征方程为 故齐次方程通解为 故 自由项为 1时原方程的特解可设为 代入原方程得 由此得 注意到由方程 5 69 5 70 有 所以有 解之得 5 5 3欧拉方程 略 形如 的方程 称为n阶欧拉方程 其中 关于变量t的常系数线性微分方程 引入算子记号 由数学归纳法可以证明 解 这是三阶欧拉方程 作代数运算后 得 即 这是一个三阶常系数线性非齐微分方程 且 方程 1 对应的齐方程的通解为 为方程 1 特解形式 代入方程 1 中 得 从而 故原欧拉方程的通解为