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问题01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：；.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程的整数解集可表示为.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：紧扣新定义首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质三、知识拓展1若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n1.2ABABAABB .3奇数集：.4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集0就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I卷】已知集合A=xx2-x-20，则RA=A. x-1x2 B. x-1x2C. x|x2 D. x|x-1x|x2【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出x2-x-20的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合,则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】,所以,.故选A.(二)与点集有关的基本运算【例2】已知,则（ ）A2 B6 C2 D一2或6【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值【解析】由若,则：点在直线上,即；：直线与直线平行,或.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键【小试牛刀】【2018年理数全国卷II】已知集合A=x，yx2+y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】x2+y23,x23,xZ,x=-1,0,1，当x=-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x=-1时，y=-1,0,1；所以共有9个，选A. (三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数aR,集合Ax|(x1)(xa)0,Bx|xa1,若ABR,则a的取值范围为()A(,2) B(,2 C(2,) D2,)【分析】先得到A(,1a,),Ba1,),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.【小试牛刀】已知Px|2xk,xN,若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为_【答案】(5,6【解析】因为P中恰有3个元素,所以P3,4,5,故k的取值范围为50且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点,所以方程组： 有解,消去y得ax=x,显然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T于是对于f （x）=ax ,有f （xT）=ax+T = aTax=Tax =T f （x）,故f （x）=axM【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理【小试牛刀】在直角坐标系中,全集,集合,已知集合的补集所对应区域的对称中心为,点是线段上的动点,点是轴上的动点,则周长的最小值为（ ）A B C D 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题【例5】若集合A具有以下性质：()0A,1A；()若xA,yA,则xyA,且x0时,A.则称集合A是“好集”下列命题正确的个数是()(1)集合B1,0,1是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”,若xA,yA,则xyA.A0 B1 C2 D3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证【解析】选C,(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为1B,1B,所以112B,这与2B矛盾(2)有理数集Q是“好集”,因为0Q,1Q,对任意的xQ,yQ,有xyQ,且x0时,Q,所以有理数集Q是“好集”(3)因为集合A是“好集”,所以0A,若xA,yA,则0yA,即yA,所以x(y)A,即xyA. 【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合,若实数,满足：对任意的,都有,则称是集合的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（ ）A BC D【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对所构成的集合为,将其看作点的集合,为中心在原点,为顶点的正方形及其内部,A,B,D选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C为抛物线,有公共点,故选C.五、迁移运用1【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集U=R，集合A=x|y=ln(x-x2)，集合B=x|(13)x1，则CUAB =（ ）A. x|x1 B. x|0x1 C. x|x0 D. x|x0或x1【答案】A 2【四川省成都市2018届模拟】设0x2，则“cosxx2”是“cosxx”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x2=x得x=0或x=1，作出函数y=cosx和y=x2，以及y=x的图象，如图所示，则由图象可知当cosxx2时，xBx2，当cosxx时，xAx2，因为xAxB，所以 “cosxx2”是“cosxx”的充分不必要条件，故选A. 点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合P=yy=1-x2,xR，Q=xx1,xR，则PQ=（ ）A. -1,0,0,1,1,0 B. x-1x1 C. -1,0,1 D. -,1【答案】B【解析】P=yy=1-x2,xR=yy1,Q=xx1,xRQ=x-1x1,，B=y|y=1-x2=y|y1, AB=-2,-1,0,1, AB的子集个数为24=16. 故选C.4【河南省洛阳市2018届三模】设集合A=xZ|x|2，B=y|y=1-x2，则AB的子集个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C 5【安徽省皖江八校2018届联考】设集合A=1,2,3,B=xx2-2x+m=0,若AB=3,则B=（ ）A. 1,-3 B. 3,-1 C. 1,3 D. -3,-1【答案】B【解析】AB=3，m=-3，即x2-2x-3=0，B= 3,-1，故选B.6【山东省济南2018届二模】设全集U=R,集合A=xx-10,集合B=xx2-x-60则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. xx3 B. x-3x1 C. xx2 D. x-2x1【答案】D【解析】由题意可得：A=xx1，B=x-2x3，AB=x-20，B=xlog2x30，则(CRA)B=（ ）A. (-,2 B. (-,3 C. (0,2 D. 2,3【答案】C【解析】因为A=x|-x2+6x-80=x|x2-6x+80=(2,4)，B=x|log2x31=x|0x31=(0,3，所以CRA=(-,24,+)，即(CRA)B=(0,28【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合若则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合, ,则,故选D.9【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合,若,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为,且, 所以,所以,故选A.10【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合, ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,选A. 11.已知集合M=x,y|x,y为实数,且x2+y2=2，N=x,y|x,y为实数,且x+y=2，则MN的元素个数为（ ）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】B 12设集合A=(x,y)|(x+3sin)2+(y+3cos)2=1,R， B=(x,y)|3x+4y+10=0，记P=AB，则点集P所表示的轨迹长度为（ ）A 25 B 27 C 42 D 43【答案】D【解析】由题意x+3sin2+y+3cos2=1的圆心为-3sin,-3cos，半径为1，而圆心（-3sin，-3cos），满足（-3sin）2+（-3cos）2=9，故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，集合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合,.若,则（）.A B C D【答案】C【解析】由题意知是方程的解,代入解得,所以的解为或,从而.故选C.14若集合,则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,故选C. 15已知集合,则集合B不可能是（ ）A BC D【答案】D【解析】,故选D.16.已知集合M是由具有如下性质的函数组成的集合：对于函数,在定义域内存在两个变量且时有则下列函数；在集合M中的个数是A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B对于,函数在单调递增,在定义域内存在两个变量且时,在单调增区间时有,此时只须时可得.满足题意对于,函数在单调递减,在定义域内存在两个变量且时,在单调减区间时有,满足题意.17设是公比为的等比数列,令,若数列有连续四项在集合中,则（ ）A B C D【答案】A18.已知集合A(x,y)|x2y21,x,yZ,B(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合AB(x1x2,y1y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为()A77 B49 C45 D30【答案】C【解析】如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”,集合AB显然是集合(x,y)|x|3,|y|3,x,yZ中除去四个点(3,3),(3,3),(3,3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”,共45个故AB中元素的个数为45.故选C.19.非空集合关于运算满足：（1）对任意,都有；（2）存在,使得对一切,都有,则称关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：,为整数的加法；,为整数的乘法；,为平面向量的加法；,为多项式的加法；,为复数的乘法其中关于运算为“融洽集”的是（ ）A B C D【答案】B20若集合,用表示集合中的元素个数,则（ ）A50 B100 C150 D200【答案】D【解析】,故选D. 21【2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合,集合,若,则实数_【答案】1【解析】由题意得,验证满足22.设是一个数集,且至少含有两个数,若对任意、,都有、（除数）,则称是一个数域,例如有理数集是数域,有下列命题：数域必含有0,1两个数；整数集是数域；若有理数集,则数集必为数域；数域必为无限集其中正确的命题的序号是 【答案】【解析】当时,故可知正确；当不满足条件,故可知不正确；对当中多一个元素则会出现所以它也不是一个数域；故可知不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知正确,故答案为.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意、,都有、这一性质展开的.
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