近世代数课件-4.5多项式环的分解.ppt

5 多项式环的因子分解5 1基本结论5 2引理5 3结论的证明 5 1基本结论 我们将要得到的结果是 一个唯一分解环上的多元多项式环本身也是唯一分解环 5 2引理 把一个素多项式叫做不可约多项式 把一个有真因子的多项式叫做可约多项式 定义的一个元叫做一个本原多项式 假如的系数的最大公因子是单位 引理1假定 那么是本原多项式 当而且只当和都是本原多项式的时候 证明若是是本原多项式 显然和也都是本原多项式 现在假定是两个本原多项式 如果不是本原多项式 那么有一个最大公因子d d不是的单位 由于 B 因而 这样 由于是唯一分解环 有一个的素元可以整除d 因而可以整除每一个 这个不能整除所有的 也不能整除所有的 不然和不会是本原多项式 假定和各是和的头一个不能被整数的系数 是系数可以写成以下形式 在这个式子里除了以外 每项都能被整除 所以也能被整除 因而由于是唯一分解环 或能被整除 与这两个元的取发相反 这样必须是本原多项式 证完 现在我们用的商域Q来做Q上的一元多项式环 那么包含 我们知道是唯一分解环 我们要由这一件事实来证明也是唯一分解环 引理2的每一个不等于零的多项式都可以写成的样子 这里是的本元多项式 若是也有的性质 那么 证明Q的元都可以写成的样子 因此叫 那么叫b是的一个最大公因子 那么 是本原多项式 2习题2 假定另一方面 是的本原多项式 那么是的一个多项式 由于和都是本原多项式 bc和ad一定同是的系数的最大公因子 2 习题2 因而这样证完 引理3的一个本元多项式在里可约的充分而且必要条件 在里可约 证明假定在里可约 这时 因为显然也是的本原多项式 由 C 和都属于 并且它们的次数都大于零 由引理2 和都是的本原多项式 由引理1 还是本原多项式 由引理2 因此 但和的次数各等于的次数 因而都大于零 由 A 和都不是的单位 这样 由 1 定理3 在里可约 假定在里可约 这时 由 C 都属于 并且他们的次数都大于零 这样 由 A 把看作的元 这两个多项式也不是的单位 由 1 定理3 在里可约 证完 引理4的一个次数大于零的本原多项式在里有唯一分解 证明我们先证明可以写成不可约多项式的乘积 若是本身不可约 我们用不着再证明什么 假定可约 由 C 和引理1 都是本原多项式 并且他们的次数都小于的次数 这样 假如还是可约 我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积 由于的次数是有限正整数 最后我们可以得到 1 是不可约本原多项式 假定还有一个分解 2 那么由引理1 是不可约本原多项式 由引理3 和在里还是不可约 这就是说 1 和 2 也是在里的两种分解 但是唯一分解环 所以我们有并且由 A 我们可以假定这样 由引理2 在里有唯一分解 证完 5 3结论的证明 定理1若是是唯一分解环 那么也是 这时 因d有分解有分解是不可约本原多项式 所以在里有分解 假定在里有另一种分解 都是的不可约多项式 这时 一定是的素元 一定是不可约多项式 因为 若不是的素元 显然也不会是的不可约多项式 若不是本原多项式 它的系数的最大公因子显然是它的一个真因子 因而也不会是不可约多项式 这样由引理1和2 我们有 3 是的单位 因而 4 3 式表示的是本原多项式的两种分解 因而由引理4 而且我们可以假定 4 表示的是唯一分解环的元d的两种分解 因而而且我们可以假定这样 是唯一分解环 证完 由定理1 应用归纳法立刻可以得到 定理2若是唯一分解环 那么也是 这里是上的无关未定元 由定理1 当是整数环的时候 是一个唯一分解环 但我们知道 这个多项式环不是一个主理想环 7 例3 这样 我们有了一个分解环不是主理想的例子