北京工业大学高数上课件第五章第一节.ppt

应用数理学院应用数学学科部 AdvancedMathematics 高等数学 第五章定积分 5 1定积分的概念5 2定积分的性质5 3微积分基本公式5 4定积分的计算5 5广义积分5 6定积分的几何应用5 7定积分的物理应用 下面图形的面积是什么 定积分的概念 一 背景来源 面积的计算 所围成的平面图形 引例一求曲边梯形的面积 曲边梯形是指由连续曲线 x轴与两条直线 矩形面积 用矩形面积之和近似取代曲边梯形面积 曲边梯形面积 五个小矩形 十个小矩形 思想 以直代曲 显然 小矩形越多 矩形面积之和越接近 应用极限的思想 分四步求面积A 1 分割 2 取近似 长度为 为高的小矩形 面积近似代替 任意用分点 3 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积A的近似值 4 求极限 为了得到A的精确值 分割无限加细 取极限 形的面积 极限值就是曲边梯 即小区间的最大长度 设某物体作变速直线运动 已知速度 是时间间隔 的一个连续函数 求物体在这段时间内所经过的路程 引例二求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上 速度看作不变 求出各小段的路程再相加 得到路程的近似值 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值 3 求和 4 取极限 路程的精确值 2 取近似 1 分割 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分割 近似 求和 取极限 所求量极限结构式相同 特殊结构的和式的极限 设函数f x 在 a b 上有界 定义5 1 把区间 a b 分成n个小区间 各小区间长度依次为 一点 作乘积 如果不论对 a b 1 在 a b 中任意插入若干个分点 2 在各小区间上任取 3 并作和 4 记 被积函数 被积表达式 记为 积分和 怎样的分法 怎样的取法 只要当 和S总趋于确定的 极限I 称这个极限I为函数f x 在区间 a b 上的 定积分 积分下限 积分上限 积分变量 a b 称为积分区间 也不论在小区间上点 面积 路程 说明 如果f x 在 a b 上的定积分存在 f x 在 a b 上可积 否则 称f x 在 a b 上不可积 则称 十七世纪下半叶 在前人工作的基础上 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作 牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑 莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的 注意 积分值仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的字母无关 定义中区间 a b 的分法和 的取法是任意的 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理 2 1 3 可积 存在 4 可积 某一特殊分割和特殊取点法 极限存在 实际上 任意分割及在上 特殊和式的极限 极限过程是 定理5 1 定积分的存在定理 有限个间断点 则f x 在区间 a b 上可积 2 若函数f x 在区间 a b 上有界 且最多只有 1 若函数f x 在区间 a b 上连续 则f x 在区间 a b 上可积 则f x 在区间 a b 上可积 3 若函数f x 在区间 a b 上单调 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 几何意义 取负号 它是介于x轴 函数f x 的图形及两条 直线x a x b之间的各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积 例求 解 物理意义 t b所经过的路程s 作直线运动的物体从时刻t a到时刻 定积分 表示以变速 例1利用定义计算定积分 解 将 0 1 n等分 分点为 小区间的长度 取 解 原式 例2将和式极限 表示成定积分 注 原式也可表示成 例3设函数f x 在区间 0 1 上连续 且取正值 试证 证由指数与对数的连续性 有 作业P205习题5 1 2 由定积分的几何意义 面积的代数和 也可得 奇 偶函数在对称区间上的定积分性质 且有 则 则